【题解】P5206 [WC2019] 数树

问题 0：
保留两棵树的交，那么方案数即为 \(y^{连通块个数}\)。

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问题 1：

对于蓝树划分成若干个连通块作为红树和蓝树的交，容斥一下。
转换成每个划分的贡献。设某个划分有 \(i\) 个连通块，则贡献为 \(y^i(1-y)^{n-i}n^{i-2}\prod siz_j\)。
其中 \(n-i\) 组合意义是连通块内部的边。

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问题 2：

仍然考虑划分为 \(i\) 个连通块，每个连通块内部的连边方案数是 \(siz_j^{siz_j-2}\)。
然后蓝树的连边方案数是 \(n^{i-2}\prod siz_j\)。
连通块的编号分配是 \(\frac{n!}{\prod siz_j!}\)，然后相等大小的连通块之间要有顺序。
综合起来就是 \(y^i(1-y)^{n-i}n^{2i-4}n![u^{n}v^i]F\)。
其中有 \(F=\prod_{j=1}^{\infty} \exp(\frac{j^ju^jv}{j!})=\exp(v\sum_{j=1}^{\infty}\frac{j^ju^j}{j!})\)，则 \([v^i]F=\frac{(\sum_{j=1}^{\infty} \frac{j^ju^j}{j!})^i}{i!}\)。
考虑拉反，\(G=\sum_{j=1}^{\infty} \frac{j^ju^j}{j!}\)，则 \([u^n]G^i=\frac{i}{n}[u^{n-i}](\frac{u}{H})^n\)，其中 \(H\) 是 \(G\) 的复合逆。

设有标号有根树的 GF 是 \(A=\sum_{j=1}^{\infty} \frac{j^{j-1}u^j}{j!}\)，有 \(uA'=G\)，且 \(A=ue^A\Rightarrow A'=\frac{A}{u(1-A)}\)，则 \(G=\frac{A}{1-A}\Rightarrow \frac{G}{1+G}=A\)，\(\frac{G}{1+G}=ue^{\frac{G}{1+G}}\Rightarrow \frac{u}{1+u}=He^{\frac{u}{1+u}}\Rightarrow H=\frac{u}{1+u}\times e^{-\frac{u}{1+u}}\)。
那么 \((\frac{u}{H})^n=(e^{\frac{u}{1+u}}(1+u))^n=e^{\frac{nu}{1+u}}(1+u)^n=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j!}(nu)^j(1+u)^{n-j}\)。
有 \([u^m](\frac{u}{H})^n=\sum_{j=0}^{\infty}\binom{n-j}{n-m}\frac{n^j}{j!}=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(n-j)!n^j}{(n-m)!(m-j)!j!}\)。
是一个显然的卷积形式。