【题单】组合计数

https://cplusoj.com/d/senior/homework/69c621e11363e1a076a1f769

CF660E Different Subsets For All Tuples

注意这题空序列也算入答案，这部分我们先提前考虑。
考虑子序列自动机，匹配的时候必须找到当前第一个匹配的位置。
那么就是要求匹配的位置 \([idx_{j-1},idx_{j})\) 这个区间内没有 \(b_j\) 出现过。
枚举结束位置和子序列长度：\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{len=1}^{n} (m-1)^{i-len}m^{n-i+len}\binom{i-1}{len-1}\)
换元 \(t=i-len\)：\(\sum_{t=0}^{n-1}\sum_{i=1}^{n} (m-1)^{t}m^{n-t}\binom{i-1}{t}\)，组合数上指标前缀和用组合意义得到 \(\sum_{t=0}^{n-1}(m-1)^t m^{n-t}\binom{n}{t+1}\)。

二项式定理一下有 \(m^n+\frac{m}{m-1}((2m-1)^n-m^n)\)。
对于 \(m=1\) 答案是 \(n+1\)。

CF938E Max History

严格前缀最大值之和，但是序列 max 不计入。
那么 \(i\) 要有贡献前面只能有 \(<a_i\) 的数，扫描线求出有 \(p\) 个，那么也就是求在 \(n-p\) 个值中 \(i\) 排第一的概率，即为 \(\frac{n!}{n-p}\)。

CF1228E Another Filling the Grid

考虑容斥有 \(i\) 行 \(j\) 列不存在 \(1\)。

CF1174E Ehab and the Expected GCD Problem

我们每次一定是有恰好一维质数幂比 min 减小 1。减到 1 以后随便放。
那么素数幂之和最大的元素应该只有 \(O(1)\) 个。
对前缀 gcd 进行 dp，可以做到 \(O(n\log n)\) 的复杂度吧。

CF1167F Scalar Queries

考虑每个 \(a_i\) 的贡献，从小到大扫值域，树状数组维护比 \(a_i\) 小的数的贡献区间。

CF1109D Sasha and Interesting Fact from Graph Theory

枚举 \(a,b\) 之间有 \(i-1\) 条边，那么根据 prufer 序列树的形态有 \(n^{n-i-1}\times i(i-2)!\binom{n-2}{i-2}\) 种，边权是 \(m^{n-i}\binom{m-1}{i-2}\)。

CF997C Sky Full of Stars

容斥：有 \(i\) 行/列相同，以及 \(i\) 行 \(j\) 列相同。
第一个是 \(\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i}(-1)^i3^{i+n(n-i)}\)。
第二个是 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \binom{n}{i}\binom{n}{j}(-1)^{i+j}3^{(n-i)(n-j)+1}\)。
然后二项式优化到 \(O(n)\)。

CF856C Eleventh Birthday

条件：奇数位减去偶数位是 11 的倍数。
那么奇数长度的串用背包合并，偶数长度的串做插入 dp。