【题单】组合计数

http://172.16.22.246:8888/d/senior/homework/69bcdc501363e1a0769cf8a4

AT_agc028_b [AGC028B] Removing Blocks

考虑计算每个块 \(i\) 的贡献，则一次操作 \(j\) 会给 \(i\) 增加系数的概率为 \(\frac{1}{|i-j|+1}\)。

AT_agc005_d [AGC005D] ~K Perm Counting

二项式反演，有 \(f_m=\sum_{n\ge m} ans_n\binom{n}{m}\)，求 \(ans_0\)。
然后我们可以把 \(\bmod k\) 相等的位置一起 dp。

AT_arc115_e [ARC115E] LEQ and NEQ

线段树维护一下区间 乘/加 操作就好。

AT_agc001_e [AGC001E] BBQ Hard

答案即为 \(\sum_{i<j} \binom{A_i+B_i+A_j+B_j}{A_i+A_j}\)。
编个组合意义：\((-A_i,-B_i)\to (A_j,B_j)\)，那么就是走路就好了。

AT_arc137_d [ARC137D] Prefix XORs

考虑 \(F\times \frac{1}{(1-x)^k}\)，也就是 \(\sum f_{n-i}\times \binom{i+k-1}{k-1}=\sum f_{n-i}[k-1\subseteq i+k-1]=\sum f_{n-i} [k-1\cap i=\varnothing]\)。

AT_arc121_e [ARC121E] Directed Tree

条件即为 \(i\) 不在 \(a_i\) 的真子树内，逆排列条件即为 \(b_i\) 不在 \(i\) 的真子树内。真子树指的是去掉 \(u\) 后的子树 \(u\)。
考虑二项式反演 \(f_m=\sum_{n\ge m} ans_n\binom{n}{m}\)，求 \(ans_0\)。
那么做一下背包就好了吧。

AT_agc002_f [AGC002F] Leftmost Ball

先按照每个颜色第二次出现的位置顺序进行标号，最后乘上阶乘即可。
然后就是从后往前 dp，0 的数量必须 $\le $ 当前颜色数。

AT_arc101_c [ARC101E] Ribbons on Tree

有 \(i\) 条边被钦定没有覆盖的系数为 \((-1)^i\)，将连通块大小计入 dp 即可。

P14636 [NOIP2025] 清仓甩卖

\(\color{red}{我爱万元神}\)
什么时候会取不到最大值？只剩两块钱的时候，遇到结构 \(w=1,2,2,2,2\cdots,1\)，然后取了两个 1 的时候可能会出错。最后那个 1 也可能不存在。
现在我们枚举第一个 1 和第一个 2，设他们原价分别是 \(x,y\)，第二个 1 的原价是 \(z\)。

• \(x>\frac{y}{2},x+z<y\)，\(x\) 以前的价钱和恰好为 \(m-2\)。
• 对于 \(\frac{a}{2}\ge x\) 的，可以是 \(w=1,2\)。
• \(a\ge x \ge \frac{a}{2}\ge \frac{y}{2}\)，只能是 \(w=1\)。
• \(a\ge x >\frac{y}{2}> \frac{a}{2}\)，可以是 \(w=1,0\)。
• 对于 \(x>a\ge \frac{y}{2}\)，强制 \(w=0\)。
• 对于剩下的没有贡献，可以随意。

然后是去重，我们规定比较是按照 \((a_i,i)\) 来的。