【题解】P8260 [CTS2022] 燃烧的呐球

考虑 boruvka 算法。
\(D(a,b)+D(b,a)=\begin{cases} s_a-s_b&b\in \mathrm{sub}_a\\s_b-s_a&a\in{\mathrm {sub}_b}\\s_a+s_b &\mathrm{otherwise} \end{cases}\)

注意到是最小生成树，所以我们只要求不把前两个 case 弄混就好。
那么分讨：

• 两个都是 case 3。
• 恰有一维是 case 1,2：dfs 时维护祖先链/子树最小值。
• 两维都是 case 1,2：
  • 两维都是祖先：线段树合并，第二维的子树限制变为 dfn 区间查询。
  • 一维是祖先：后代那一维 dfs，祖先维做 dfn 区间查询，回溯时撤销。
  • 两维都是后代：dfs 到 \(x_i\) 的时候，对于 \(y_i\) 的子树 dfn 区间进行 chkmin，回溯时撤销。

所有值都是需要维护两种颜色的。总复杂度 2log。