联合省选 R7

https://cplusoj.com/d/senior/contest/69a6f8e81363e1a076965b04

T1

题目等于求拓扑序。

\[\begin{aligned}\\ [x^i]F&=\frac{1}{i}[x^{i-1}]\frac{1}{1-F^k}\\ F'&=\frac{1}{1-F^k}\\ F-x&=\frac{F^{k+1}}{k+1}\\ \end{aligned} \]

拉格朗日反演，将 \(F,x\) 互换得到复合逆 \(x-G=\frac{x^{k+1}}{k+1},G=x-\frac{x^{k+1}}{k+1}\)。
则有 \(\frac{1}{n}[x^{n-1}]\left(\frac{1}{1-\frac{x^k}{k+1}}\right)^n\)。将 \(\frac{1}{k+1}\) 提到最外面，并将 \(x^k\) 换元。
也就是 \(\frac{1}{n(k+1)^{(n-1)/k}}[y^{(n-1)/k}](\frac{1}{1-y})^n\)。最后有 \(\frac{(n-1)!\binom{a+n-1}{n-1}}{(k+1)^a}\)，其中 \(a=\frac{n-1}{k}\)。

T2

显然可以连 \(l_i,r_i\) 的边，那么就是走若干次 \(r_i/l_i\) 的边。
那么终点有 \(O(n)\) 个，放在平面上是从左上到右下。
每次可以往右/上走一步，每个终点有对应的权值。
\(\color{Red}\mathtt \Gamma\)

T3

题解：一种 0/1Trie 变形的数据结构

对于一棵 Trie，重剖一下，对于每个重链可以使用位运算得到什么时候退出这个重链。
那么可以做到 \(O(\log n)\) 查询。对于大值域，把重链切成长度至多 \(w\) 的链，也就是 \(O(\log n+\frac{\log V}{w})\)。

重链看作一个点，那么是一个多叉树的结构，性质并不好。
考虑全局平衡二叉树，那么仍然是二叉树，但是树高 \(O(\log n+\frac{\log V}{w})\)。