联合省选 R4

https://cplusoj.com/d/senior/contest/69a150aa1363e1a076939c47

T1

操作等价于删除一个数。\(f_i=f_j+(a_i\oplus a_j)-c\)。
这个可以维护一个表，高位低位分开做，\(O(n\sqrt V)\)。

T2 qoj16229 Grid Path Tree

赛时暴力：
令 \(k_1=\left\lfloor\frac{k-2}{2}\right\rfloor,k_2=\left\lfloor\frac{k-3}{2}\right\rfloor\)。
\(ans_k=\sum_{a_1,a_2,b_1,b_2} \binom{a_1+b_1}{a_1}\binom{a_2+b_2}{a_2}\binom{n-a_1-a_2-2}{k_1}\binom{m-b_1-b_2-2}{k_2}\)，注意还得交换 n,m 算一次。
\(ans_1,ans_2\) 特殊处理。
\(\sum_{a_1+a_2=a,b_1+b_2=b} \binom{a_1+b_1}{a_1}\binom{a_2+b_2}{a_2}=\binom{a+b}{a}(a+b+1)\)，这样求答案就是 \(O(n^3)\)。

考虑 \(a\) 序列满足 \(a_1+a_3+a_5+\cdots=n-1,a_2+a_4+a_6+\cdots=m-1\)。
我们所求即是 \(\sum a_ia_{i+k-2}\)，对于 \(k=2\) 求的是 \(\sum\binom{a_i}{2}\)。

• 引理：对于长度为 \(m\) 的序列 \(b\) 满足 \(\Sigma b=n\)，有 \(\sum_b b_1=\binom{n}{m},\sum_b b_1b_2=\sum_b \binom{b_1}{2}=\binom{n+1}{m+1}\)。
  • 插板法的时候多插一个板/两个板。
  • 注意到序列每个位置都是等价的。

设 \(a\) 序列长度为 \(L\)。

• \(k\) 是奇数：\(\max(0,L-k+2)\binom{n-1}{L/2}\binom{m-1}{(L+1)/2}\)。
• \(k\) 是偶数：\(\frac{\max(0,L-k+2)}{2}\times \binom{n}{L/2+1}\binom{m-2}{(L+1)/2-1}+\frac{\max(0,L-k+2)+1}{2}\times \binom{m}{(L+1)/2+1}\binom{n-2}{L/2-1}\)。

处理每个 \(L\) 的贡献就好。

T3 qoj16230 Max Twice Subsequences

结论：若存在答案，则一定有两个子序列满足，只有一个下标不同。
设这个下标对是 \(x<y\)，子序列选取的是 \((i_1,i_2,i_3,\cdots,x/y,\cdots,i_m)\)。
令 \(s\) 为 \([l,r]\) 中最小的下标，满足 \([s,r]\) 中没有重复元素。
那么 \(i_1\) 一定取 \([l,s)\) 中的最大值，然后 \(i_2\) 取 \((i_1,s)\) 中的最大值...
或者认为取的是 \(x\)，那么 \(y\) 取最近的 \(a_y=a_x\)，若 \(y\le r\) 则合法。后续就是一直取 \((i_*,r]\) 中的最大值。

\(\color{Red}\mathtt \Gamma\)