联合省选 R2

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T1 P8428 [COI 2020] Pastiri

首先求出每个点如果放置牧羊人可以管辖的距离。那么从下往上贪心放就好。

T2 P12558 [UOI 2024] Heroes and Monsters

充要条件：S 和最小的怪物打，T 和剩下的打，并且都是从小到大一一对应。

• 暴力：考虑枚举 \(|S|=s\)，那么根据上述可以做到单个 \(s\) 复杂度 \(O(n^2)\)。
• 单调的性质：
  • \(b\) 的第 \(s+1\) 小可以将 \(a\) 划分为两部分，其中左边划分到右边一定会失败，而右边划分到左边一定会胜利。
  • 也就是我们可以分别做前后缀的 dp，然后拼起来。总复杂度 \(O(n^2)\)。

T3 P13542 [OOI 2022] Two avenues

科技：边三连通分量

考虑 dfs 树，对于一个边双内部，考虑区别两个点是否在一个边三内部。
即是否能删除两个边使得他们不连通。一个边双内部每个树边至少有一个非树边覆盖。

• 删除一个树边和唯一一个覆盖他的非树边。
• 删除两个树边，要求他们被相同的非树边覆盖。

考虑树上差分+异或哈希处理“被一条非树边覆盖”和“被相同的非树边覆盖”。
我们每次回溯时匹配这两类边，挑最浅的删除。最后得到的连通块一定是边三。
然后割边也需要删除，他不在边三中。
独立出连通块同样可以使用异或哈希处理。

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考虑缩边三。然后得到仙人掌。考虑选割边的话就是选两个。
如果选到环上就是做一个扫描线。
然后你考虑环上的本质不同出入点对。
在圆方树上，要么方点是 \((x_i,y_i)\) 的 LCA，要么是圆点到父亲圆点。需要树上差分处理数量。
复杂度 \(O((n+q)\log n)\)。