Week 3

CF1770F Koxia and Sequence

考虑构成 \(a\) 的无序集合为 \(S\)，则要求 \(S\) 中的多重排列方案数 \(\bmod 2=1\)，否则 \(\oplus S\) 没有贡献。考虑 \(S\) 的桶为 \(o\)，这个东西等于每次选择 \(n\) 的一个子集 \(o_i\) 去掉。于是只有至多一个 \(o_i \bmod 2=1\)。
将 \(a\) 限制为排好序的。
其中 \(n\) 的每一位是独立的，于是我们有若干个形如 \(t_{i}\times 2^{i}\) 的组。
要求 \(\sum_{} t_{i}\times 2^{i}=x,\bigcup t_{i}=y\)，其权值为 \(t_0\)。
继续拆位，即询问 \(t_0\) 的第 \(i\) 位是 1 的时候，方案数的奇偶性。

\(y\) 的限制可以使用容斥，我们钦定一些位没有出现，由于 \(-1\bmod 2=1\)，所以容斥系数都是 1。
考虑生成函数，钦定只有 \(s\) 的子集可以作为 \(t_i\)，则是 \([x^X]\prod_{i} (\sum_{t\subseteq s}x^{t2^i})=\prod_i\prod_{2^j\subseteq s}(1+x^{2^{i+j}})\)，这里有卢卡斯定理 \(f(x)^p\equiv f(x^p)\pmod p\)，所以两个 \((1+x^k)\) 合并可以得到 \((1+x^{2k})\)。

暴力做 \(O(y\log y\log x)\)。

qoj7974 染色

TopCoder11351 TheCowDivOne

CF1810G The Maximum Prefix

芝麻糊。

P8290 [省选联考 2022] 填树