Week 2 计数

P3266 [JLOI2015] 骗我呢

反射容斥。
考虑每一行有一个没有出现的数，设第 \(i\) 行没出现 \(a_i\)。
画图看一下，发现条件等于 \(a_i\ge a_{i-1}-1\)。
建个图，等于说，可以先往左下走一步，然后往右走若干步。特别地第 0 列不是往左下，是往下走。
将坐标系往右偏移，使得每个左下边变成向下边。
0 的边变成了右下，但是你发现把他拆成 下+右 后不会影响。、

发现转化为，从 \((1,1)\)，走到 \((n,n+m)\) 的方案数，每次可以移动 \((+1,0),(0,+1)\)，不能碰到 \(y=x-2,y=x+m+1\)。
于是是经典的反射容斥：\(f(\varnothing)-f(A)-f(B)+f(AB)+f(BA)-\cdots\)。

CF1967E1 Again Counting Arrays (Easy Version)

反射容斥。

P10005 [集训队互测 2023] 基础寄术练习题

该来的还是来了。

\(k=1\)。考虑这样一件事，有 \(a_i\) 个颜色 \(i\) 的球，将他们排成一排。
设颜色 \(i\) 的球最后一次出现在 \(lst_i\)，求 \(\forall i,lst_{i-1}<lst_i\) 的概率。
我们可以按照顺序插入，最后一个是颜色 \(i\) 的概率为 \(\frac{a_i}{s_i}\)，乘起来即为答案。
如果我们确定了 \(a_i\) 组成的集合 \(S\)，枚举作用到 \(S\) 上的排列 \(p\)。
发现对于一个任意 \(lst_i\) 之间的相对顺序，一定是和 \(p\) 形成双射的。
于是 \(\sum_{p}\prod_{i=1}^n \frac{a_i}{s_i}=1\)，即 \(\sum_{p} \prod \frac{1}{s_i}=\frac{1}{\prod a_i}\)。

\(k=2\)。等于多乘上 \(a_{1}\)。
考虑 \(a_1\) 作为第一个的概率。做一个容斥，设钦定 \(B\) 集合的元素 \(lst<lst_1\)。
于是就是先插入 \(B\) 集合内的元素，插入 1 的时候 \(lst_1=\Sigma_B+a_1\)。
即这个东西的概率为 \(\frac{a_1}{\Sigma_B+a_1}\)，容斥系数是 \((-1)^{|B|}\)。
即 \(\frac{1}{\prod a_i}\times \sum_{a_1} \sum_B (-1)^{|B|}\frac{(a_1)^2}{\Sigma_B+a_1}\)。
dp 的时候可以将 \(a_1\) 也划分到 \(B\) 中。

CF961G Partitions

斯特林。
考虑 \(i\) 的贡献，设 \(i\) 所在集合大小为 \(s\)，则贡献为 \(w_i\times \sum_{s=1}^{n} \binom{n-1}{s-1}S_2(n-s,k-1)\)，使用通项公式展开化式子。

qoj7769 Axium Crisis