AT_fps_24

i

\(\prod (1+a_ix)\)，分治求即可。

j

分治做转移。2log

k

答案 \(f_{n}=n!-\sum_{i=1}^n i!f_{n-i}\)，可以分治。2log
可以做到 1log。\(\color{Red}\mathtt \Gamma\)

m

\([\frac{x^n}{n!}]\ln (\sum _{i=1}^n \frac{2^{i(i-1)/2}x^i}{i!})\)

n

\([x^n]\prod \frac{1-x^{i\times (a_i+1)}}{1-x^i}\)，求 ln 后求和，有值的位置不超过 \(O(n\ln n)\) 项。

o

列方程 \(F=x(1+\sum_{i\in \mathbb P} \frac{F^i}{i!})\) 可以拉格朗日反演，我不会。
考虑 Prufer，1 出现 \(0/p-1\) 次，其他节点出现 \(0/p\) 次。可以多项式快速幂求。

p

\(\sum_{i=0}^K \binom{N}{i}m^{N-i}\)，可以多项式多点求值。

q

求出 \(A_i=\sum_j {a_j}^i\) 再做一次卷积就可以求出答案。
这个就是 \(\sum \frac{1}{1-a_jx}\)，可以分治求。

r

这个就是反射容斥，我们求出 \((x+x^{-1})^T \bmod (x^{2m}-1)\)。
NTT 维护循环卷积快速幂，复杂度 2log。

t

考虑颜色 \(i\) 的段数生成函数是 \(F_i\)，则有 \(\frac{1}{1-F_i}=1+A_ix\)，可得 \(F_i=\frac{A_ix}{1+A_ix}\)。
答案是 \((-1)^TA_1^{T-1}+[x^{T+1}]\frac{F_1^2}{(1-\sum F_i)\times A_1^2}\)。可以 Bostan-Mori。