【B】最终章

直接弃赛了。4 场模拟赛，前 3 场认真打了的也只是每场一题。菜爆了。

op:
未知
https://www.luogu.com.cn/problem/P12445
未知

T1

T2

考虑 \(k=n\) 的情况，充要条件为：2~n-1 的点都有入边和出边。
钦定前 \(i\) 个点中有 \(j\) 个是没有出度的，特别地 \(i\) 我们是不能在这里钦定的。
然后每次我们要新钦定 \(\deg^{\mathsf {out}}_{i-1}=0\)。一个 \(O(n^2)\) dp 即可求出。
显然这个容斥使得我们可以求出任意 \(n_0\le n\) 个点的图，每个点都在 1~n 的路径上的方案数，不妨将其设为 \(g_i\)。

考虑从 \(g_k\) 添加 \(n-k\) 个点，使得不影响满足条件的节点个数。将点分三类：

• 类型 I：在 1~n 路径上的。
• 类型 II：可以从 1 到达但是无法到达 n。
• 类型 III：不能从 1 到达。

考虑他们的入边可能有哪些？

• in I：I（一开始就考虑了）,III
• in II：I,II,III，至少有一个 I 或者 II
• in III：III

III 可以向所有连边，所以最后加入他们。I 和 II 之间的贡献呢也是可以 dp 计算的。

T3