【A】数据结构 2

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P9809 [SHOI2006] 作业 Homework

根号分治。

• \(y\le \sqrt V\)：每次插入暴力更新这部分的答案。
• \(y>\sqrt V\)：变成 \(V/y\) 次查询后继。值域分块，需要支持 \(O(1)\) 查询。

CF1822G2 Magic Triples (Hard Version)

可以对于中间项 \(a_j\) 枚举 \(b\)。\(b=1\) 单独计算。
因为 \(b\le \sqrt V\)，我们考虑如何分解因数？

• \(a_j\le B\)：暴力分解，复杂度 \(O(\sqrt B)\)。
• \(a_j>B\)：显然有用的 \(b\) 不超过 \(V/B\)，\(O(V/B)\) 分解。

平衡得到 \(B=V^{\frac{2}{3}}\)，复杂度 \(O(nV^{\frac{1}{3}})\)。

P5071 [Ynoi Easy Round 2015] 此时此刻的光辉

• \(p> V^{1/3}\)：莫队处理，每个数只有至多 2 个这样的质因数。
• \(p<V^{1/3}\)：个数不多，可以处理前缀和。

未公开题目

给出一棵点有颜色的树，多次询问，每次给出颜色集合，问只保留这个颜色集合内的颜色的点后，\(u\) 所在连通块的大小。
\(n,q\le 2\times 10^5,c\le 15\)。

关于连通块的这类题目，我们的做法是：点分治，若重心和 \(u\) 是连通的，那么我们就在这个重心统计答案。否则可以递归子树。

那么对于这题，点分治到重心 \(t\)，求出每个点 \(u\) 到 \(t\) 的颜色集合。高维前缀和处理，这部分复杂度 \(O(2^{c}\times c)\)。
每次都跑这个东西，很不优。考虑平衡复杂度。
设阈值 \(B\)，当节点数 \(\ge B\) 的时候跑上面那个。否则我们跑暴力查询。
复杂度分析是 \(O(qB+\frac{n}{B}\times 2^{c}c)\)。平衡得到 \(B=\sqrt{2^cc}\)

P5607 [Ynoi2013] 无力回天 NOI2017

把并变成求交。

• brute I：bitset 做。
• brute II：维护 \(ans_{x_1,x_2}\)，设元素 \(i\) 最终被 \(s_i\) 个集合包含，更新复杂度为 \(\sum \binom{s_i}{2}\)。

那么若 \(s_i\le S\) 做第一个暴力，否则做第二个。复杂度平衡为 \(O(m\sqrt {\frac{m}{w}})\)。空间可能有点问题。

P5386 [Cnoi2019] 数字游戏

莫队维护值域，将数标记为 0/1。
需要维护区间连通块 \(\mathsf{siz}^2\)。
回滚莫队维护只把 0 变成 1 的操作。
考虑序列分块，维护极长的 1 的连续段，将贡献放在连通块左端点，使用分块做区间询问。然后修复左/右端点的贡献即可。可能需要分块维护 0 的前驱和后继。

牛客题

给出 \(a_{1\sim n}\)，多次询问 \([l,r],k\)，问区间出现次数 \(\ge k\) 的数有多少种。

考虑分块，类似莫队，从整块开始，拓展散块。
对于整块我们存出现次数为下标的桶，自然根号。然后再维护一下每个数在区间内出现了多少次就好了。
时空 \(O(n\sqrt n)\)。

P11706 「KTSC 2020 R1」穿越

dp，更新是：\([l,r]\) 加上 \(B\)，然后全局对 \(\min+A\) 取 min。
考虑 A、B 都是会变的。考虑 \(dp_{i,j}\) 他可能是形如 \(\min uA+vB\)。
有些 \((u,v)\) 的二元组他是不优秀的，可以排除。具体地，我们建立 \((u,v)\) 的这个坐标系，那么我们只关心下凸壳上的点。
考虑线段树维护 \(dp_i\)，每个节点维护凸壳 min，标记也是一个凸壳和一个向上平移 tag。+A 就是往右平移，+B 就是往上平移。复杂度是 \(O(点数\times n\log n+q\log n)\)，查询就是拿个斜率在凸壳上二分。
那点数是个什么东西？考虑限制了 \(u,v\le n\)，那么凸壳大小最大是 \(O(n^{\frac{2}{3}})\)。

P7881 [Ynoi2006] rmpq

考虑询问分块，前面的块怎么预处理？分治，可以做到 \(2B^2\)。
整体复杂度 \(O(\frac{n}{B}\times 2B^2+nB+\frac{n^2}{B})\)，平衡就是 \(B=\sqrt n\)。

• 等价类分治。

qoj1851 Directed Acyclic Graph

询问分块，每 \(w\) 个询问拉出来跑一次，得到每个点被哪些操作覆盖了。然后我们询问就可以很容易地求出答案了。然后修改一下点权就好了。

• 规约性：如果 problem A 能做 problem B，那么 A 就是比 B 强。
  那么这个题就是可以做 DAG 可达性，所以至少要 \(O(n^2/w)\)。

CF1476G Minimum Difference

拍个待修改莫队，查询根号复杂度就好了。\(O(n^{5/3})\)

P13130 [Ynoi Easy Round 2019] 黑川赤音

T378975 解除炸弹（boom）