广义串并联图

定义

图中不存在同胚于 \(K_4\) 的图称作广义串并联图。

• 同胚：两个图 \(G_1,G_2\) 存在某个细分图 \(G_1'=G_2'\)，则称他们是同胚的。
• 细分图：对于图 \(G\)，进行若干次在某条边上增加二度点，得到的图 \(G'\) 我们称它是 \(G\) 的细分图。

性质

\(\color{Red}\mathtt \Delta\) 对于一个联通的广义串并联图，我们可以通过“删 1 度点、缩 2 度点、叠合重边”这个操作，将这个图缩成一个单点。
我们称这个过程为“广义串并联图”方法。

一些例题

\(\color{#5776ff} \mathtt \Psi\) P6790 [SNOI2020] 生成树
树、仙人掌是常见的广义串并联图。容易证明，仙人掌加上一条边后仍然是广义串并联图。
那么我们可以在进行广义串并联图方法的过程中 dp，设 \(f_e,g_e\) 分别表示 \(e\) 这条边选择/不选择的方案数。

• 删 1 度点：\(ans\leftarrow ans\times f_e\)。
• 缩 2 度点，发现两条边不能同时不出现，且新边出现必须原来的两条边都出现：\(f_e=f_{e_1}f_{e_2},g_e=f_{e_1}g_{e_2}+g_{e_1}f_{e_2}\)。
• 叠合重边，发现两条边不能同时出现，且新边不出现必须原来的两条边都不出现：\(f_e=f_{e_1}g_{e_2}+g_{e_1}f_{e_2},g_e=g_{e_1}g_{e_2}\)。

细节：注意一开始的重边。
可以用 set 维护当前 deg 最小的节点，用 map 维护边的权值。缩 2 度点的时候判断是否造成重边。

\(\color{#5776ff} \mathtt \Psi\) P8426 [JOI Open 2022] 放学路 / School Road
不会/ll
\(\color{#5776ff} \mathtt \Psi\) P11832 [省选联考 2025] 图排列

p话：这个题为我提供了 52 分，尽管我忘记打暴力导致只有 44 分。不过两个 T1 都没切掉，所以没什么用。

考虑树？我们对于 \(u\) 以及其儿子 \(v_1,v_2,v_3,\cdots,v_k\)，我们应该按照 \(v\) 子树内最小值从小到大的顺序去遍历这些点，同时 \(u\) 应该按照他的大小插入到其中。

如果是多个连通块，我们分别求出答案，然后根据第一个节点的编号排序。当你下一个输出的节点编号大于下一个连通块的第一个节点，那么就切换过去。

然后我们分析一个环怎么做，发现只能是从某个节点开始顺时针/逆时针走。
再考虑一个点双。由于一定合法，我们注意到他一定是一个环上面加上若干没有相交关系的弦。否则若弦上加上一个二度点一定不可能有合法的排列。
那么我们需要找出一个合法的哈密顿环，我们根据这个去走。

考虑到这个图是广义串并联图，那么进行广义串并联图方法，缩 2 度点和叠合重边。
叠合重边的时候删除长度为 1 的边。最后从圆点开始跑，找最小的方向即可。

\(\color{#5776ff} \mathtt \Psi\) AT_pakencamp_2018_day2_g グランド・グラフ　(Grand Graph)
这个题类似第一个题，虽然这个图不是广义串并联图，但是我们同样可以用广义串并联图方法，将其缩小。

• Lemma：广义串并联图方法可以将图的点数/边数缩小至 \(O(|E|-|V|)\) 级别。令 \(k=|E|-|V|\)，则具体为 \(n=2k,m=3k\)。

设 \(f_{e},g_{e}\) 分别表示边的端点是否同色的方案数（我们还没有确定点的颜色），然后分类讨论三种 case，最后剩下一个很小的图，直接状压计数即可。

• 删 1 度点，确定他的颜色：\(ans\leftarrow ans\times (f_e(k-1)+g_e)\)。
• 缩 2 度点，确定他的颜色：\(f_e=(k-2)f_{e_1}f_{e_2}+f_{e_1}g_{e_2}+g_{e_1}f_{e_2},g_e=(k-1)f_{e_1}f_{e_2}+g_{e_1}g_{e_2}\)。
• 叠合重边：\(f_e=f_{e_1}f_{e_2},g_e=g_{e_1}g_{e_2}\)。

\(\color{#5776ff} \mathtt \Psi\) qoj8460 公园
广义串并联图方法，然后记录边之间的关系，我们可以使用二叉树的结构描述他，动态 dp 维护。

\(\color{#5776ff} \mathtt \Psi\) P4426 [HNOI/AHOI2018] 毒瘤
这个题大概也是类似的，就是我们删除一度点的时候权值需要乘到点上面。