【A】The Lost Ship in the Sky

Exercise

容易发现，操作次数就是 \(\operatorname{LCM}(l_i)\)，其中 \(l_i\) 为所有的置换环大小。那么，对于可能的答案 \(X=\prod p_i^{a_i}\)，我们构造 \(l_i=p_i^{a_i}\)，对于剩下的我们补足 1，则 \(\sum p_i^{a_i}\le n\) 即为判定的充要条件，我们容易使用 \(O(n^2)\) 背包维护。

CF1896D Ones and Twos

我们考虑，讨论极长的 \(2\) 前缀和 \(2\) 的后缀长度分别为 \(L,R\)。设全部的和为 \(S\)，令 \(d=S-x\)。

• \(d<0\)，不合法。
• \(d< 2\min(L,R)\)，也不合法。
• 否则我们可以证明若存在 1 一定合法。

gym105949L

对于 \(\max-\min\) 这类东西，我们可以转化为 \(\frac{1}{2}(|occ(A)-occ(B)|+|occ(A)-occ(C)|+|occ(B)-occ(C)|)\)。

那么做前缀和后，我们容易计算。

qoj1250

我们考虑对于选出了一些 \(A\) 中的点集 \(S\)，令他们的后继集合为 \(T\)，则 \(\sum_{u\in S}a_u\le \sum_{u\in S}b_u\)。考虑按照轮廓线描述，那么我们可以一层一层做，复杂度 \(O(A(B+C)\binom{B+C}{B})\)。

qoj7126

我们可以设 \(f_{u,i,j}\) 表示 \(u\) 子树内最浅的 control point 离 \(u\) 的距离为 \(i\)，最深的 special point 离 \(u\) 的距离为 \(j\)，那么我们可以做 dp。
但是我们注意到，若 \(i,j\) 之间不能互相满足，则我们可以丢掉这个 control point，因为满足了 \(j\) 的 control point 一定比 \(i\) 优，那么我们可以用前缀和优化做到 \(O(n^2)\)。

P5999 [CEOI 2016] kangaroo

使用连续段 dp，从小到大加入 i。

• 对于 \(i\ne s,t\)，则它要么新开一个段，要么将两个段合起来。
• 对于 \(i=s/t\)，我们一定要放到首/尾。则，我们需要在上面的转移中减去固定首尾后的系数。

P7559 [JOISC 2021] IOI 熱の感染拡大 (Day1)

将初始感染者的位置当作原点，则所有感染者的位置满足：\(|x|+|y|\le t\)。
然后你发现，除了对角线上的人，其他人的方向都是固定的。
为了确定对角线上人的朝向，我们暴力枚举初始感染者 \(t=1\) 在哪里，于是我们就可以确定所有人的方向，然后去做模拟即可。
方便写代码，可以旋转坐标系使得将初始感染者都在往同一方向走。然后我们转移的时候先更新第一个点，在这个决策点被优先队列取出的时候才加入下一个决策点。
那么这个题可能拿链表维护会比较好。

AT_joisc2017_c 手持ち花火 (Sparklers)

我们容易想到可以二分速度，则我们转判定问题。
然后我们考虑一个贪心，对于 K 左右两边的，一定是往 K 跑，然后他们可能会叠在一起，当 K 的棒棒熄灭后，有人继续点亮，也就是每个时刻只有一根棒棒是亮的。

那么现在我们相当于：K 不动，每次你选择左/右边的人以 2v 的速度往 K 走，走到 K 的人以后可以给 K 续命。

也相当于是你有左右两个数组，然后你选择取左边还是取右边，他的代价为 \(T-\frac{dis_i}{2v}\)，我们初始金币数量为 0。要求：任意时刻，金币数量不能为负数。
那么我们不妨考虑对某一侧，我们一直取他，直到本次收益和为正。两边取较大的组，即可贪心。考虑最后存在某个后缀不能分进组，我们时光倒流做一遍即可。

CF983D Arkady and Rectangles

扫描线，然后某个颜色是当前存在的，需要满足他是某个根到叶子的路径最大值。用 \(A_u\) 表示节点 \(u\) 到叶子上的最大值的最小值，用 set 去维护当前节点的最大值，我们就可以维护插入的操作。
删除操作，可能存在某个子树内的点，他会成为新的最大值。注意到每个颜色我们只需要关注他第一次被看到，于是我们可以再用一个 set 维护当前节点没有被看到过的颜色，设其中最大值为 \(B_u\)，则我们需要找到 \(u\) 子树内的某个 \(v\)，满足 \(B_v>A_v\)，且 \(B_v\) 最大，他有可能成为当前被看到的颜色。
set 只需要查询最大值，支持插入删除，不妨使用可删堆即可。
均摊 \(O(n\log^2 n)\)。

P10008 [集训队互测 2022] Range Minimum Element

首先你容易发现我们只需要求出 \(c\le n\) 的答案，其他更大的可以被计算出来。
构造双射：\(a_i=\max_{i\in[l_j,r_j]}b_j\)。
那么我们可以设 \(f_{l,r,c}\) 表示值域在 \([1,c]\)，\(a_{l-1}=a_{r+1}=1\) 的答案。枚举第一个 1 在哪里，则有转移 \(f_{l,r,c}\leftarrow f_{l,p-1,c-1}\times cov_{l,p-1}\times f_{p+1,r,c}\)。
其中 \(cov_{l,r}\) 表示 \([l,r]\) 是否可以被 \([l_i,r_i]\in [l,r]\) 的 \(b\) 覆盖。注意可能不存在 1。

最后拉差即可，复杂度 \(O(n^4)\)。