【A】Strategy above the depths

「JOISC 2018 Day 1」帐篷

考虑 dp，枚举最后一列的情况。
因为对于一对帐篷，他们相当于占领了一行两列/两行一列。
对于一顶帐篷，他占领了一行一列。那么删除占领的区域后即可递归子问题。

P10744 [SEERC 2020] Modulo Permutations

考虑到只有 \(1,2\) 后面可以放比自己大的，其他只能放比自己小的。
那么 \(3\sim n\) 就需要划分成两个序列，他们各自满足要求。那么我们就可以用 \(f_{i,j}\) 表示两边开头分别为 \(i,j\) 的方案数。容易 dp。

P9461 「EZEC-14」众数 II

P5871 [SEERC 2018] Inversion

根据逆序对连边的性质，我们可以得到：

• 独立集一定是一个最长上升子序列。
• 一个独立支配集一定是一个极长的上升子序列，否则，那些没被加入的点不会被边覆盖到。

那么我们计算极长的上升子序列个数即可。

P7457 [CERC2018] The Bridge on the River Kawaii

考虑线段树分治，开 11 个并查集，做完了。

P3363 Cool loves jiaoyi

考虑二分答案，然后对 len 排序，每次插入 \(x\) 的时候弹出 \(<x-mid\) 的链，那么树剖维护链 max 即可。复杂度 3log。

P4350 [CERC2015] Export Estimate

按照权值从大到小加边，询问也这样扫，那么我们只需要维护当前的：

• 孤立点个数。
• 二度点个数。
• 环个数。

其中上面两个都是好维护的，最后一个考虑环上度数都为 2，那么我们用并查集+哈希即可维护。

P7220 [JOISC 2020] 掃除

考虑线段树分治，我们把灰尘按照他的插入和查询时刻，进行分段。那么我们可以把这个灰尘依次插进这些段内，然后查询经过这些段后，他到了哪里。

于是，我们对于线段树每个节点，它一开始有一些点集，然后需要进行一些操作，我们需要维护他们最终的位置。

考虑到操作后，扫过的矩形都不会再存在点。于是我们考虑维护这个台阶状轮廓线，用一个平衡树，按照 x,y,id 依次为关键字，那么我们对于轮廓线上的点，他是一个 x/y 的赋值，用 tag 的形式即可维护。
对于不在轮廓线上的点，被操作到的，我们把它插入轮廓线。那么我们考虑用一个以 x 为下标，维护 y 的最小值的 线段树去维护他们。

复杂度 2log。

P7324 [WC2021] 表达式求值

首先对于单个维度考虑。
考虑对于某个数 \(x\)，我们只考虑其他的数是 \(<x,=x,>x\)，变成三种取值，最后我们只关心 \(=x\) 的数量。考虑到只有 \(10\) 种数，那么我们可以预处理 \(3^{10}\) 种映射的答案。但是还是太大了，考虑差分则有 \(\le x,>x\) 两种，那么可以接受。

最后，对于每个维度都查询一下即可。

P7294 [USACO21JAN] Minimum Cost Paths P

暴力列出 dp 式子，按照 y 为阶段。这个 dp 数组是凸函数，考虑 slope trick 维护。

但是我们有二次函数加，正常用两个堆是无法维护的。观察我们 \(f_y(x)\leftarrow f_y(x-1)+c_y\) 的这个转移，它相当于用 \(c_y\times x\) 这个东西去截这个凸函数，去取 min。那么我们可以想到用分段维护这个凸函数，然后每个分段点中间是一个二次函数。那么就支持查询和修改啦。