【A】杂题选将

P13617 [ICPC 2024 APC] Bit Counting Sequence

考虑进 1 位导致位数和减 1，那么我们找到进位最多的那一次，那么他应该是形如 111..000..0 的一个东西，然后你去判定一下就好了。

P11818 [PA 2019 Final] 一安在？ / Gdzie jest jedynka? 2

考虑维护 \(\gcd\) 最大的整数对 \((p_x,p_y)\)，一开始 \(x=0,y=1\)，每次加入 \(i\)。分类讨论：

• \(\gcd(p_x,p_i)>\gcd(p_x,p_y)\)，令 \(y\) 等于 \(i\)。
• \(\gcd(p_x,p_i)<\gcd(p_x,p_y)\)，不变。
• \(\gcd(p_x,p_i)=\gcd(p_x,p_y)\)，有 \(\gcd(p_i,p_y)\ge \gcd(p_x,p_y)\)，令 \(x\) 等于 \(i\)。

可以证明，0 一定能够保留到最后。
那么首先用 \(p_x\) 和其他判断一遍 \(\gcd(p_i,p_x)\)，若出现过 2 次 1，则说明 \(p_x\) 不是 0。那么用 \(p_y\) 继续判断剩下的即可。复杂度 \(3n\)。

考虑到上面分讨需要重新查询 \(\gcd(p_i,p_y)\)，那么若 \(\gcd(p_x,p_y)>1\) 则打标记最后不再查询，若 \(\gcd(p_x,p_y)=1\)，则不重新查询 \(\gcd(p_i,p_y)\)。复杂度 \(2n\)。

P11820 [PA 2015] 健身房 / Siłownia

若不存在 \(r_i\) 相同且 \(p_i\) 相同的要求，考虑这样一个贪心：
按照时间 \(t\) 扫描线，对每个 \(p_i\) 维护一个 set。

• 首先加入所有 \(l_i=t\) 的需求。
• 若存在某个人 \(r_i=t\) 且在 set 中，考虑在这个时刻尽量满足一些需求：对于每个 \(p\) 找出 \(r\) 最小的那个，在 \(t\) 时刻满足他的需求。

考虑存在 \(r_i=r_j,l_i\le l_j\)，令 \(r_i\) 减一即可，考虑这样做尽量满足了合法性。按照 \(l\) 倒序插入，然后维护 \(r\) 的连续段即可。

P13407 [GCJ 2010 Finals] Letter Stamper

即最小化入栈次数。
不妨令我们当前想要打印 A：

• 栈大小为 0：插入 A。
• 栈大小为 1：若不存在 A，则插入 A。
• 栈大小为 2：若不存在 A，则插入 A；否则弹出直到栈顶为 A。

考虑栈顶从右往左依次是：

• A：喵。
• AB：弹出 B。
• ABC：那我们并不知道应该弹出还是插入，考虑 dp。

那么根据讨论，不应该出现两个 A 之间相隔 0/1 个字符的情况。故栈应该长成 ABCABCABC... 的形状，那么枚举 ABC 的排列，然后做一个 \(O(n^2)\) dp 即可。

P11803 【MX-X9-T7】『GROI-R3』此花绽放之时

考虑对于每个极大颜色连通块的根作为代表元，每次给他打上一个 \((col,val)\) 的标记。然后你发现修改之前你改变了颜色，原本祖先链上未下放的标记可能被破坏。考虑对于 \(u,v\) 他们的整个祖先链进行标记下方，记作 \(\operatorname{pway}(u),\operatorname{pway}(v)\)。

考虑对每种颜色开一棵动态开点线段树维护每个位置的 tag。然后考虑树剖+维护轻儿子，每次对于重链中一个点 \(u\) 他的极长 dfn 同色连续段进行下放标记，然后用树状数组维护和。\(\color{#9966FF} \mathtt \Gamma\)

但是你看轻子树，他的 tag 被下放情况不太对。考虑用 map 记录 \(s_{u,c}\) 表示 \(u\) 从父亲那里继承了多少的 \(col=c\) 的标记。

然后修改颜色操作就做完了，其他两个操作是简单的。总复杂度 \(O(n\log ^2n)\)。

P13863 [SWERC 2020] Decoration

将 \(x\) 的唯一出边 \(x+d(x) \bmod n\) 连边，这是个内向基环树森林。即要求一个长度为 \(k\) 的不重复路径。每个点作为起点模拟即可。

uoj187 https://uoj.ac/problem/187

对于 \((i,j)\) 满足 \(b_i\ge b_j,|a_i-a_j|\le b_i-b_j\)，我们称其为可达的一对点。考虑 dp，枚举 \([j,i]\) 都接到，\((k,j)\) 都没接到，则有 \(f_i=f_k+(i-j+1)^2\)，要求 \(k\) 可达 \(j\)，\([j,i]\) 这段点每个点都可以达下一个点。

将转移分为两部分转移，考虑 \(|a_i-a_j|\le b_i-b_j\)，即要求 \(a_i-a_j\le b_i-b_j\) 且 \(a_j-a_i\le b_i-b_j\)，则有一个二维偏序，由于 \(b_i-b_j\ge 0\) 成立才能转移，相当于已经满足了 \(b_i\ge b_j\) 的限制。那么按照其中一维排序，维护另一维的最小值。

第二部分显然是一个斜率优化。将极长的可达连续段取出来变成序列上跑这个东西即可。

P12602 指鹿为马

考虑 kmp 自动机，有 \(f_n=0\)，求 \(f_1\)。
\(f_i=1+\sum_c f_{\delta(i,c)}p_{s_i,c}+[\delta(i,c)=0]p_{s_i,c}(E_{s_i}+f_1)\)，其中 \(E_{s_i}\) 表示从 \(s_i\) 开始生成，一直生成到 \(s_1\) 的概率。

转移存在环，但是这个增广矩阵比较稀疏。第 \(i\) 行只有 \(\le i+1\) 的列是非零常数。将 \(i+1\) 这一项放在右边，则左侧是三角矩阵，相当于已经高斯消元好了。考虑用 \(k_if_1+b_i\) 表示出所有的 \(f_i\)，解一元方程即可。

P13350 「ZYZ 2025」遗传

显性和隐性是类似的，将患病情况取反即可。下面讨论显性。
考虑求出固定一个生物的患病情况，然后求出整体合法的概率，再除以不固定生物的整体合法概率（就是条件概率）。
每次只有一个点到根的路径上的转移不同，其他可以预处理，由于随机数据树高并不大，可以 \(O(nh)\) 过掉。

P12462 [Ynoi Easy Round 2018] 星野爱久爱海

首先考虑暴力。对 \([l,r]\) 建出虚树，那么我们一定是想要尽量选择叶子。不妨令在点集 \(S\) 中选择 \(k\) 个点的最优方案为 \(F(S,k)\)。
做过 Spiders Evil Plans 可以得到一个策略：首先枚举直径端点作为根，长剖，每次选择最长的链即可，选 \(k-1\) 次。
然后我们可以证明 \(F(S\cup T,k)\subseteq F(S,k)\cup F(T,k)\)，若不满足这个的话可以用不在右边的那条链更新右侧的其中一者。
那么支持 \(O(k\log k)\) 合并，考虑数据结构维护。
按照 \(k\) 分块，块内暴力，块间 st 表合并，复杂度大概是 \(O((n\log n+qk)\log k)\)，\(\log k\) 可以通过将合并优化到 \(O(k)\) 进行加速，瓶颈大概在排序？
也可以上线段树，多一个 log。