数学草稿

P13645 Totient with Divisors

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(i)\varphi(j)\sigma(ij)&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(i)\varphi(j)\sum_{a|i}\sum_{b|j}\frac{ib}{a}\times[a\perp b]\\ &=\sum_{o=1}^{n}\mu(o)o\times (\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{o}\right\rfloor}i\varphi(io)\lambda(i))\times (\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{o}\right\rfloor}\sigma(j)\varphi(jo))\\ \lambda(n)&=\sum_{d|n} \frac{1}{d} \end{aligned} \]

那么对于两个括号内的是容易 \(n\log n\) 预处理出来的，则每次对 \(o\) 整除分块有询问 \(\sum_{o=1}^p \mu(o)o\times f(X,o)\times g(Y,o)\)，共询问 \(O(T\sqrt n)\) 次。
不会了。\(\color{#FF9696}\mathtt \Gamma\)

P4240 毒瘤之神的考验

二元积性函数拟合：
令 \(f(i,j)=\varphi(ij)\)，即询问 \(S_f(n,m)\)。
令 \(g(i,j)=\varphi(i)\varphi(j)\)。
有 \(\mathcal{F}_p(u,v)=\frac{uvp(p-1)}{(1-up)(1-vp)}+\frac{u(p-1)}{1-up}+\frac{v(p-1)}{1-vp}+1\)，\(\mathcal{G}_p(u,v)=\frac{uv(p-1)^2}{(1-up)(1-vp)}+\frac{u(p-1)}{1-up}+\frac{v(p-1)}{1-vp}+1\)，容易发现 \(\mathcal{H}_p=\mathcal{F}_p/\mathcal{G}_p=1+\frac{uv(p-1)}{(1-u)(1-v)}\)。

由于 \(h*g=f\)，而 \(f(1,p^k)=g(1,p^k)\)，有 \(h(1,p^k)=h(p^k,1)=0\)。那么 \(h\) 非零的位置只有 \(\sqrt {nm}\) 个。暴搜则有 \(O(n+m+\sqrt{nm})\) 的复杂度。

多组询问：设定阈值 \(B\)，对于 \(xy\le B\) 的直接暴力计算，复杂度 \(O(\sqrt B)\)。
对于 \(xy>B\)，他对询问 \((n,m)\) 的贡献是 \(h(x,y)S_\varphi(\left\lfloor\frac{n}{x}\right\rfloor)S_\varphi(\left\lfloor\frac{m}{y}\right\rfloor)\)，有 \(O(\frac{n^2}{xy})\) 个不同的矩形，离线二维数点 \(O(1)-O(n^{\epsilon})\)。
二维数点的总点数不超过 \(O(\frac{n^2}{\sqrt B})\)，总复杂度 \(O(Tn^\epsilon+T\sqrt B+\frac{n^2}{\sqrt B})\)，取 \(B=\frac{n^2}{T}\) 有 \(O(Tn^\epsilon+n\sqrt T)\)。

进一步拟合：考虑到 \(h\) 的密度还是太大了，考虑设 \(h_1(n,n)=h(n,n),h_2=h/h_1\)，有 \(S_f(n,m)=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^m h_2(x,y)S_{h_1*\varphi}(\left\lfloor\frac{n}{x}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{m}{y}\right\rfloor)\)，其中 \(S_{h_1*\varphi}(n,m)=\sum_{i=1}^{\min(n,m)}h_1(i,i)S_\varphi(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor)S_\varphi(\left\lfloor\frac{m}{i}\right\rfloor)\)。
对于 \(h_2(1,p^k)=h_2(p^k,1)=h_2(p^k,p^k)=0\)，我们可以得到 \(h_2\) 的密度为 \(O((nm)^{\frac{1}{3}})\)。算上 \(S_{h_1*\varphi}\) 的复杂度，是 \(O((nm)^\frac{1}{3}\log nm)\) 的。