多元积性函数

• 定义：若函数 \(f(n,m)\) 满足 \(ab \perp xy \Rightarrow f(ax,by)=f(a,b)f(x,y)\)，则称 \(f\) 为二元积性函数。
• 积性分解：将 \(x=\prod p_i^{\alpha _i},y=\prod p_i^{\beta _i}\)，则有 \(f(x,y)=\prod f(p_i^{\alpha_i},p_i^{\beta_i})\)。
• 二元迪利克雷卷积：\((f*g)(n,m)=\sum_{xy=n,ab=m}f(x,a)g(y,b)=\sum_{d_1|n,d_2|m}f(d_1,d_2)g(\frac{n}{d_1},\frac{m}{d_2})\)。
• 二元贝尔级数：\(\mathcal{F}_p(u,v)=\sum_{i=0}^{+\infty}\sum_{j=0}^{+\infty} f(p_i,p_j)u^iv^j\)。