复杂度计算

计算 \(\sum\limits_{i=\sqrt{n}}^{n}(\dfrac{n}{i})^i\) 的数量级

微积分当然是可以的，但是我不会微积分，该如何解决呢？

考虑利用微积分的思想，微积分通过将函数划分为许多极小的部分求和，这里我们也可以作同样的处理。

令 \(B=\sqrt{n}\)，先考虑计算 \(i\in [B,2B)\) 的函数面积，\(S_1\le B(\dfrac{n}{B})^2=n\sqrt{n}\)

再计算 \(i\in [2B,4B)\) 的函数面积，\(S_2\le 2B(\dfrac{n}{2B})^2=\dfrac{n\sqrt{n}}{2}\)

以此类推，相当于计算 \(n\sqrt{n}(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dots)\)

显然这个式子是收敛的，等比数列求和得到答案 \(2n\sqrt{n}\)