集合幂级数

集合幂级数

从 \(2^U\rightarrow R\)​ 的映射

加法乘法

\(h=f\cdot g=\sum\limits_{L\in 2^U}\sum\limits_{R\in 2^U}f_Lg_Rx^{L\oplus R}\)

类比乘法，其中 \(\oplus\)​ 需要满足交换律，结合律

高维前缀和的 dp 解释

设 \(f_{S,i}\) 表示考虑 \(S\) 的子集的后 \(i\) 位，前 \(|S|-i\) 位与 \(S\) 相同

或卷积

核心：对最高位进行分治，结合位运算的独立性，可以按任意顺序处理每一位

\(p,q\) 的对应位分别为 \(0,1\)，FMT 操作 \(q+p\)，FMI 操作 \(q-p\)，二者互为逆变换

理解为高维前缀和

与卷积

FMT 操作 \(p+q\)，FMI 操作 \(p-q\)

理解为高维后缀和

异或卷积

直接构造出 FWT 的变换形式：\(\hat{f_S}=\sum\limits_{T\in 2^U}(-1)^{|S\cap T|}f_T\)

FWT 逆变换：\(f_S=\dfrac{1}{2^n}\sum\limits_{T\in 2^U}(-1)^{|S\cap T|}\hat{f_T}\)

还是进行分治，FWT 操作 \(p\leftarrow p+q,q\leftarrow p-q\)，FWI 操作 \(p\leftarrow \dfrac{p+q}{2},q\leftarrow \dfrac{p-q}{2}\)，相当于将 \(2^n\) 分摊到 \(n\) 层中

性质

FMT 和 FWT 可以理解为矩阵乘法，也就是线性变换，具有线性性。

若干 \(f\) 卷可以先都转化为点值，对应相乘，再转回来，类似于 fft

子集卷积

带上 \(\text{popcount}\)，先都转为点值，再对应相乘，再转回来

例题

CF1530 F

ABC212 H

联考题

ARC100 C

P4221

CF914 G

P5387