多校冲刺 NOIP2021 (20) —「集合均值·聚烷撑乙二醇·技术情报局·肯德基」

集合均值

发现这个元素在哪个位置就会贡献一个调和级数的后缀和。

直接多重集排列就算贡献就可，原因是元素都是等价的，元素都等价，一般简化都很容易。

但是考试被卡常了，给我的教训就是没用的东西不要写，比如一开始的组合数做法，后来不用了，然后求阶乘还在上面带着，徒增常数。

聚烷撑乙二醇

考试的时候并不会做，事实上看懂样例2就AC了。

设 \(f_i\) 代表后面 \(i\) 的期望，那么后面 \(i\) 个已经算好了，这次只要看是否大于后面的，大于就替换，否则就保底。

以后还是用 \(long \ double\) 吧，精度高。

技术情报局

笛卡尔树很容易想到，区间乘积和像斐波一样维护 \(suf , pre ,mul\) ，从左右儿子转移就行。

肯德基

挺不错的一道题，考场认为基本没人会做，然后就暴力跑路，事实上大家都会做。

\(\sum \mu^2(i) * i =\sum S(\lfloor\frac{n}{i^2}\rfloor)*i^2*\mu(i)\)

枚举每个平方因子，让有平方因子的数被计算 \(0\) 次， \(S(x)=\sum_{i=1}^x i\) ， \(\mu\) 就是这个经典的容斥系数。

然后直接整除分块，复杂度 \(n^{1/3}\) 。

补一下 “如何优雅的送分”

\(\sum_{i=1}^{n}2^{F(i)},F(i)\text{代表i内不同的质因子个数}\) 。

\(2^{F(i)}\) 就相当于把所有质因子摆在这，每个都能选择或者不选，选择就对应着一种组合，所以可以转化成 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\mu^2(d)\)

改变求和顺序，和上面一样用莫比乌斯容斥一下 \(\sum_{d=1}^{n}\mu^2(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor=\sum_{i=1}^{\sqrt n}\mu(i)*S(\lfloor\frac{n}{i^2}\rfloor)\)

\(S(n)=\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) ， 原理是 \(\large \lfloor \frac{\lfloor\frac{n}{z}\rfloor}{t}\rfloor=\lfloor\frac{n}{zt}\rfloor\)

根本不用题解里枚举 \(k^2|d\) ,直接容斥就行。

总结

还是爆炸。

开场先看T1，T2，感觉模明白样例基本就切了，所以放一边了。

T3一看水题，10min写了式子，然后以为会码的很轻松，有看了看T4，感觉应该没人会。

此时计划 30 min 码完T3+T4暴力，然后（2-3）h做完T1，T2，剩下时间再去玩T4。

结果T3写式子的时候大意了，没注意小细节，然后就慌慌张张的调试，10：00才做完。

出锅就应该立马重新检查式子，而不是慌慌张张的自造样例等，还有就是这种靠式子切题的题码之前一定要仔细检查式子是否有锅，否则浪费时间

回头看T1，11：25才做完，认为T2没啥戏了，就想搞70pts，然而另外那40pts我会一种积分做法，然而我不会积分，就玩式子玩了半天，最后无果，还不如老老实实玩样例，玩出来第二个样例就会做了。

这场主要被T3的2h毁了，还有自己概率期望，容斥太弱，码之前一定检查式子！！！。