模拟61—「交通·小P的单调数列·矩阵·花瓶」

交通

考试的时候一直在想如何给大环计数，然后不会。
实际上可以转化题目，因为一个点有两条入边和两条出边，但是只能选择一条，所以给他们建一个边。
那么新的图也有 \(2n\) 个点（每条边看做一个点）， \(2n\) 条边。
并且相邻的点不能选择，因为他们是同一个点的入边或者出边。
所以要在图上选择 \(n\) 个互不相邻的点。

每有一个环，就有两种方案，最后的答案就是 \(2^t\) ， \(t\) 是环的个数。

小P的单调数列

考试的时候推出来了正常的方程并写上了树状数组优化，但是没想到 \(j\leq 2\) 。

\(j\leq 2\) 证明就是多选一个数的平均值肯定不如 \(max\) 大。
所以要选择尽量少的段，如果单调递减的很大，那么就需要选择两段（第一段强制递增）。
否则直接选择一段最大的单调递增就行了。

矩阵

一道构造题，并没有足够的时间想。
首先需要有一个 \(n=2\) 的时候的方案，就是不断通过对角线让这一列相等，然后消掉一列。
同理可以解决 \(m=2\) 。

然后整张图只要把前两行，前两列干成 0 ，整张图就可以为 0 。
考虑一个如下图形。

这是一个 3*3的正方形，无论你是用设么操作，他都能抵消掉，所以这6个数的和永远不变。

所以可以根据这个把整个矩形弄成0 。
所以只要用上述 \(n,m=2\) 的操作弄好就行了。

花瓶

显然的 \(dp\) 和斜率优化，但是留给这道题的时间不够，没发现一个地方正负号反了。
首先 \(a_i >0\) 的时候 \(x\) 单减，\(k\) 单增，可以直接反过来做，每个 \(j\) 开一个单调队列。

当 \(a_i\) 不是正数的时候，因为这道题是两维的斜率优化，并且在第一维有显然的转移顺序，所以可以先排序，再操作。

先让 \(x\) 有序，插入到单调队列里面，再让 \(k\) 有序，单调队列统计答案。
这样每次排序，复杂度是 \(n^2logn\) 的。

可以发现顺序其实是不变的，所以直接再外面先排好序就行了。

总结

T1,T2做了很长时间，但是没有想出来。
并且 T1 ，T4 打的暴力还挂了。
（T1我复杂度是 \(20^{10}\) ）
本来堆满暴力可以有 30+60+40（我只想了20）+70 ,但是我只拿了60。
因为是暴力，所以没有太注意（事实证明即使我打正解很小心也有大概率挂，暴力不注意就挂残了）
然后又垫底了一场。

T4斜率优化的式子都推出来了，但是错一个正负号一直没发现，最后调试也是一直在乱改而没有想想自己式子错了。
T2有点大意，一直在想如何改变dp定义减少状态，没想推性质减少枚举。
其实知道自己会 TLE 给第二维卡个上界也是不错的选择。