20210524考试—奇怪的道路 题解

考场上不知道为什么，我一直想打暴力然后打个表，因为数据范围可以打表，根本想都没有想正解这回事，也许是对自己的不自信吧。（自信也没用）
考场上选择性眼瞎，没看到\(k<=8\),所以当他们说是状压的时候我都很惊讶。但是我也否定了组合数做法。

这个方程很好推，就是状态不好设计。
首先把\(i,j\)设为处理好的点数，边数这个不难想到。
这里一个小细节，状态设计一定要严谨，否则越推越乱,\(i\)表示已经处理好\(i-1\)个点，正在处理第\(i\)个点。
有一点我感觉我在这有思维误区，其实很多题我都栽到这个点上面，很重要。

当题目描述的东西有后效性的时候，与其想如何处理这个后效性，更多的应该想能不能不鸟这个后效性。

我觉得基站选址也是这个意思，其实重点就是这个，你会发现如果你管后面的\(k\)个点，你也管不过来，因为当前点并不能决定后面的点。
所以第三维就被设计出来\([i-k,k]\)这个区间内的连边状态，如果奇数为\(1\)，偶数为\(0\)。

即使你设计出来这三维，发现转移的式子还是推不出来。因为你根本不知道你处理的点再跟谁连边。
我们自然会想一重循环枚举在和谁连边。即使枚举，发现由于无法记录，我们不知道当前状态要转移到哪里。
所以设计出来第四维：正在处理\(i\)和\(i-k+l\)的连边。

其实这个状态设计出来，题基本就完事了。

还要注意一个点，我们要把自己连边的奇偶性也压进去，这样方便我们进行转移。

如果\(i\)和\(i-k+l\)连边
\(f[i][j+1][k \ xor \ (1<<K) \ xor \ (1 << l ) ][l]+=f[i][j][k][l]\)
这是因为连边之后当前点和被连点的奇偶性都要改变

如果不连
\(f[i][j][k][l+1] += f [i][j][k][l]\)

如果已经处理完当前点的所有连边，准备向下一个点转移
\(f[i+1][j][k>>1][max(0,K-i)]+=f[i][j][k][l]\)
这里有两个需要注意：
1.只有当最后一位的连边是偶数才能转移。
2.\(max(0,K-i)\)保证了我们转移到一个合法状态上。

code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <bitset>
#define int long
#define R register int
#define printf Ruusupuu = printf

using namespace std ;
typedef long long L ;
typedef long double D ;
const int M = 1e9 + 7 ;
const int N = 3e1 + 10 ;
const int K = 10 ;

inline int read(){
	int w = 0 ; bool fg = 0 ; char ch = getchar() ;
	while( ch < '0' || ch > '9' ) fg |= ( ch == '-' ) , ch = getchar() ;
	while( ch >= '0' && ch <= '9' ) w = ( w << 1 ) + ( w << 3 ) + ( ch - '0' ) , ch = getchar() ;
	return fg ? -w : w ;
}

inline void A( int & a , int b ){ a = a + b > M ? a + b - M : a + b ; } 
inline int AA( int a , int b ){ return a + b > M ? a + b - M : a + b ; }
inline void debug( int x ){ cout << bitset<10> ( x ) << endl ; }
inline int maxs( int a , int b ){ return a > b ? a : b ; }

int Ruusupuu , n , m , kk ;
int f [N][N][1 << K][K] ; 

//已经处理好i-1个点，正在处理第i个点;已经连接j条路;[i-kk+l,i]的状态为k(偶数为0,奇数为1)，正在处理i-kk+l时候的方案

void sc(){
	n = read() , m = read() , kk = read() ;
}

void work(){
	f [1][0][0][kk] = 1 ;
	for( R i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
		for( R j = 0 ; j <= m ; j ++ ){
			for( R k = 0 ; k < ( 1 << ( kk + 1 ) ) ; k ++ ){
				for( R l = 0 ; l <= kk ; l ++ ){
					if( i - kk + l < 1 ) continue ;
				//	debug( k ) , printf( "%ld %ld %ld %ld\n" , i , j , l , f [i][j][k][l] ) ;
					if( l == kk && !( k & 1 ) ) A( f [i + 1][j][k >> 1][maxs( 0l , - i + kk )] , f [i][j][k][l] ) ; 
					else if( l != kk ){
						A ( f [i][j + 1][k ^ ( 1 << kk ) ^ ( 1 << l )][l] , f [i][j][k][l] ) ; 
						A ( f [i][j][k][l + 1] , f [i][j][k][l] ) ;
					}
				}
			}   	
		} 
	}
	printf( "%ld\n" , f [n][m][0][kk] ) ;
}

signed main(){
	sc() ;
	work() ;
	return 0 ;
}