动态规划_01背包_一维数组_记录路径
前言
之前对0-1背包就理解的不是很好，并且时间长了会忘的。
这次又重新复习一下，理解了好几个以前没理解的点。
1 题目 2 现有n件物品，每一件的重量是w[i],价值是v[i]。用一个容量为c的背包来装这些东西， 3 问如何选择物品才能使装的物品价值最大？（每件物品只能放一次） 4 思路 5 我们会想该放哪i件物品到容量c的背包中呢。 6 我们可以用dp(i,j)来表示前i件物品放入容量j的背包中地最大价值。针对第i件物品,我们要先考虑 7 背包容量是否大于物品容量： 8 如果小于：那就不放，dp(i,j)=dp(i-1,j)。 9 如果大于：再考虑是否要放入： 10 这个时候要从放或不放第i件物品中选择一个价值更大的：dp(i,j)=max{ dp(i-1,j) , dp(i-1,j-w(i))+v(i) } 11 另外，起始值dp[0][j]=dp[i][0]=0; 12 算法实现 13 首先用二维数组dp(i,j)变成dp[i][j]。 14 dp[i][j]有好多的状态啊，能有n*c个，这么多状态按照怎样的顺序来计算呢，所以需要找出前后关系来。 15 可以看出每一个状态都是跟上一个状态有关的，要求装i件时的价值需要知道装i-1件时候的最大价值，所以得有个外层循环i:0.....n 16 每一次都是只需要dp[i-1][1,2,3.....]中的值，所以对于j来说呢好像顺序无所谓了。 17 由此可以写出代码： 18 ----------------------------------------- 19 #include<cstdio> 20 #include <iostream> 21 #include <cstring> 22 23 using namespace std; 24 25 int dp[1005][1005]; 26 27 int main(){ 28 int T; 29 int M; 30 int maxx=0; 31 32 int t[1111]; 33 int p[1111]; 34 while(scanf("%d %d",&T,&M)!=EOF){ 35 maxx=0; 36 memset(dp,0,sizeof(dp)); 37 memset(path,0,sizeof(path)); 38 for(int i=1;i<=M;i++){ 39 scanf("%d %d",&t[i],&p[i]); 40 } 41 for(int i=1;i<=M;i++){ 42 for(int j=1;j<=T;j++){ //因为j的顺序无所谓，for(int j=T;j>=1;j--)也可以 43 if(j>=t[i]){ 44 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-t[i]]+p[i]); 45 }else{ 46 dp[i][j]=dp[i-1][j]; 47 } 48 } 49 } 50 printf("%d\n",dp[M][T]); 51 } 52 return 0; 53 } 54 ----------------------------------------- 55 打印状态矩阵dp 56 样例： 57 10 5//容量 物品数量 58 2 6//第一件物品的 重量 价值 59 2 3 60 6 5 61 5 4 62 4 6 63 64 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 65 --+---------------------------------------------------- 66 1 | 0 6 6 6 6 6 6 6 6 6 67 2 | 0 6 6 9 9 9 9 9 9 9 68 3 | 0 6 6 9 9 9 9 11 11 14 69 4 | 0 6 6 9 9 9 10 11 13 14 70 5 | 0 6 6 9 9 12 12 15 15 15 71 72 照着这个矩阵手动推算一遍会加深理解,可以按照i：0...n,j:0...c的顺序。 73 也可以按照i:0...n,j:c...0的顺序，(按照这种顺序推算，也许就可以发现后面讲的优化为一维数组的方法。) 74 75 路径记录 76 之前不是说每一件物品都有放或不放两种选择吗，想要记录路径就得在放的时候给标记一下。 77 关键代码如下： 78 ---------------------- 79 for(int i=1;i<=M;i++){ 80 //for(int j=1;j<=T;j++){ 81 for(int j=T;j>=1;j--){ 82 if(j>=t[i]){ 83 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-t[i]]+p[i]); 84 if(dp[i-1][j]<(dp[i-1][j-t[i]]+p[i])){//记录路径 85 path[i][j]=1;//记录路径 86 }//记录路径 87 }else{ 88 dp[i][j]=dp[i-1][j]; 89 } 90 } 91 } 92 ---------------------- 93 路径输出 94 下面是路径矩阵 95 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 96 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 97 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 98 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 99 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 100 我们需要从这个矩阵中找出选取的哪些物品，应当从最后一个状态往前找。 101 比如说有多条从一个点出发的路径，你想要找到达顶点a的路径，肯定是从a往前这一条路找过去就行了。 102 代码如下： 103 ---------------------- 104 int i=M,j=T;//物品数量 背包容量 105 while(i&&j){ 106 if(path[i][j]==1){ 107 printf("%d ",i); 108 j-=t[i]; 109 } 110 i--; 111 } 112 --------------------- 113 114 一维数组优化 115 还是以上面的数据为例： 116 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 117 --+---------------------------------------------------- 118 1 | 0 6 6 6 6 6 6 6 6 6 119 2 | 0 6 6 9 9 9 9 9 9 9 120 3 | 0 6 6 9 9 9 9 11 11 14 121 4 | 0 6 6 9 9 9 10 11 13 14 122 5 | 0 6 6 9 9 12 12 15 15 15 123 观察这个矩阵，会发现某一个状态dp[i][j]跟两个元素有关，一个是它的正上方的元素，另一个是它的上一行的左边的某一个元素 124 上面不是说过内层循环j可以从T....0吗，也就是j的顺序是无所谓的。 125 那么我们可以用这种顺序来观察上面的矩阵， 126 当我们计算dp[2][10]的时候，dp[2][10]=max{dp[1][10],dp[1][10-2]+3},结果是9，这时候可以不用把9写在第二行里， 127 我们可以把它写在dp[1][10]的位置(其实这个位置原来的数据已经没用了，因为后面任何一个状态都不会再用刀这个值了) 128 同样一次类推，把数据都写在第一行。 129 就这样每一行从后往前计算，只用一个一维数组就够了。 130 (如果每一行从前往后计算是不可以用一维数组的，比如在计算完dp[2][4]的时候，如果覆盖掉dp[1][4]的值， 131 但是再计算后面的dp[2][*]的时候是会用到那个值的) 132 最终代码： 133 ------------------------------------------------ 134 #include<cstdio> 135 #include <iostream> 136 #include <cstring> 137 138 using namespace std; 139 140 int dp[1005]; 141 int path[1005][1005]; 142 143 int main(){ 144 int T; 145 int M; 146 int t[1111]; 147 int p[1111]; 148 while(scanf("%d %d",&T,&M)!=EOF){ 149 memset(dp,0,sizeof(dp)); 150 memset(path,0,sizeof(path)); 151 for(int i=1;i<=M;i++){ 152 scanf("%d %d",&t[i],&p[i]); 153 } 154 for(int i=1;i<=M;i++){ 155 for(int j=T;j>=1;j--){ 156 if(j>=t[i]&&dp[j]<dp[j-t[i]]+p[i]){ 157 path[i][j]=1; 158 dp[j]=dp[j-t[i]]+p[i]; 159 } 160 } 161 } 162 printf("%d\n",dp[T]); 163 164 for(int i=1;i<=M;i++){ 165 for(int j=1;j<=T;j++){ 166 printf("%d ",path[i][j]); 167 } 168 printf("\n"); 169 } 170 171 int i=M,j=T; 172 while(i&&j){ 173 if(path[i][j]==1){ 174 printf("%d ",i); 175 j-=t[i]; 176 } 177 i--; 178 } 179 } 180 return 0; 181 } 182 /* 183 10 5 184 2 6 185 2 3 186 6 5 187 5 4 188 4 6 189 */ 190 ---------------------------------------------------------
