学习笔记 【差分约束】

差分约束

差分约束系统 是一种特殊的 \(n\) 元一次不等式组，它包含 \(n\) 个变量， 以及 \(m\) 个约束条件，每个约束条件是由两个其中的变量做差构成的，形如 \(x_i-x_j\leq c_k\)。
我们要解决的问题是：求一组解 ，使得所有的约束条件得到满足，否则判断出无解。

差分约束系统中的每个约束条件 \(x_i-x_j\leq c_k\) 都可以变形成 \(x_i\leq x_j+c_k\) ，这与单源最短路中的三角形不等式 \(dis[\,y\,]\leq dis[\,x\,]+z\) 非常相似。因此，我们可以把每个变量 \(x\) 看做图中的一个结点，对于每个约束条件 \(x_i-x_j\leq c_k\) ，从结点 \(j\) 向结点 \(i\) 连一条长度为 \(c_k\) 的有向边。

对于\(≤\)号，我们跑最短路，否则跑最长路。

对于一些对解有要求的问题，我们建一个超级原点，对于 \(x_i-x_0 \leq c_0\) 我们设置的 \(c_0\) 为解的上限，若是大于等于则 \(c_0\) 为下限。

但在建图后不一定存在最短/长路，因为可能存在无限减小/增大的负环/正环，此时就是无解的情况。

解法：

1. 根据题中的关系推出一些隐含的关系式。
2. 进行建图。

不等式标准化：

如果要求取最小值，那么求出最长路，那么将不等式全部化成 $ x_i - x_j ≥ k $的形式，这样建立 \(j->i\) 权值为 \(k\) 的边，如果不等式组中有 \(x_i - x_j > k\)，因为一般题目都是对整形变量的约束，化为 \(x_i - x_j ≥ k+1\) 即可，如果 \(x_i - x_j = k\)呢，那么可以变为如下两个：\(x_i - x_j ≥ k\) , \(x_i - x_j \leq k\),建立两条边即可。

建好图之后直接\(\text{spfa}\)或\(\text{bellman-ford}\)求解，不能用\(\text{dijstra}\)算法，因为一般存在负边，注意初始化的问题。

例题

P3275 [SCOI2011]糖果。