学习笔记 【单调队列优化DP】

单调队列优化DP

一般的DP时间复杂度较高，我们需要一些手段优化来满足优秀的复杂度。我DP都不会是不是可以不学了

单调队列性质：

单调队列内部元素具有单调性。一般包括以下两种操作：

1. 插入：如果插入元素破坏单调性，就删除队尾元素，直到满足单调性。再将其插入到队列。
2. 获取最值：取队首元素（注！）

一般地，利用单调队列优化时，每个元素储存两个值：

1. 它在原序列的下标。
2. 它在动态规划的状态值。
   要满足这两个性质同时单调。

将扫描之前的状态最大值来更新现在的状态的时间由 \(O(n)\) 优化成了 \(O(1)\) （均摊）。

什么时候用：

来看一道例题：
给你一个长度为 \(n\) 的序列，要求找到一段连续的长度不超过 \(m\) 的子序列，使得序列的和最大。\(n,m\leq200000\)。

很显然的 \(O(nm)\) 的暴力做法。

考虑一个优化。推一下柿子：

\[f_i=\max{\{\sum ^i _{j=i-k+1}a_i|k=1...m\}} \]

令

\[s_i= \sum ^i _{j=1} a_j \]

\[f_i=\max\{s_i-s_{i-k}\} \]

\[=s_i-\min\{s_{i-k}\} \]

可以看出 \(s_i\) 是个定值，所以每次取出 \(s_{i-k}\) 的最小值即可推出最大值。这个可以用小根堆维护。 \(O(n \log_2 n)\)。

我们考虑用单调队列优化。在添加\(s_{i-1}\)时设队尾元素为\(s_k\)，由于 \(k<i-1\) ，\(k\) 必然先出队。若\(s_{i-1}<s_k\) 那么\(s_k\) 这个决策就永远不会用到了。设当前队头元素 \(s_j\) ， 若\(j\) 已经不在长度 \(m\) 的范围内了，不会再更新新状态了，就要删掉。

来整理操作：

1. 弹不在范围内的队首元素。
2. 用新元素弹出破坏单调性的元素。
3. 插入新元素。
4. 取队首最优值更新。

复杂度 \(O(n)\) 。
在一些转移方程形如

\[f_i=\max\{f_j+cal(i)\} \]

中 \(j<i\) 且 \(cal(i)\) 与 \(j\) 无关，此时可以将 \(f_j\) 扔进单调队列。

习题：

[SCOI2010] 股票交易