基础数论Ⅲ-Ⅰ

狄利克雷卷积

定义

两个数论函数 \(f,g\) 的狄利克雷卷积被定义为

\[h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d}) \]

简记作 \(h=f*g\)，另一个常用的等价形式是：

\[(f*g)(n)=\sum_{xy=n}f(x)g(y) \]

性质与结论

狄利克雷卷积拥有许多重要的性质和结论：

交换律

即 \(f*g=g*f\)。

证明：

\[f*g=\sum_{xy=n}f(x)g(y)=\sum_{xy=n}g(x)f(y)=g*f \]

结合律

即 \((f*g)*h=f*(g*h)\)。

证明：

\[\begin{aligned}(f*g)*h&=\sum_{xy=n}(f*g)(x)h(y)\\&=\sum_{xy=n}\sum_{zw=x}f(z)g(w)h(y)\\&=\sum_{yzw=n}f(z)g(w)h(y)\end{aligned} \]

等式右边也可以化成一样的形式，故两者相等。

对加法的分配律

即 \((f+g)*h=f*h+g*h\)。

证明：

\[\begin{aligned}(f+g)*h&=\sum_{xy=n}(f+g)(x)h(y)\\&=\sum_{xy=n}[f(x)+g(x)]h(y)\\&=\sum_{xy=n}f(x)h(y)+\sum_{xy=n}g(x)h(y)\\&=f*h+g*h\end{aligned} \]

若 \(f,g\) 均是积性函数，则 \(f*g\) 也是积性函数。

证明：

设 \(\gcd(n,m)=1\)，则：

\[\begin{aligned}(f*g)(n)\times (f*g)(m)&=\sum_{p|n}f(p)g(\frac{n}{p})\times\sum_{q|m}f(q)g(\frac{n}{q})\\&=\sum_{p|n}\sum_{q|m}f(p)g(\frac{n}{p})\times f(q)g(\frac{m}{q})\\&=\sum_{pq|nm}f(pq)g(\frac{nm}{pq})^①\\&=(f*g)(nm)\end{aligned} \]

注解

①：\(p|n,q|m\iff pq|nm\)。

常用数论函数：

欧拉函数

即 \(\varphi\)，其性质在基础数论Ⅰ中介绍过了。

幂函数

记作 \(\text{id}_{k}\)，其定义为 \(\text{id}_{k}(n)=n^k\)。

特别的，当 \(k=0\) 时又称为常数函数 \(I\)，当 \(k=1\) 时又称为恒等函数 \(\text{id}\)。

是一个完全积性函数，即 \(\text{id}_k(ab)=\text{id}_k(a)\text{id}_k(b)\)

除数函数

记作 \(\sigma_{k}\)，其定义为 \(\sigma_{k}(n)=\sum_{d|n}d^k\)。

特别的，当 \(k=0\) 时又称为个数函数 \(d\)，当 \(k=1\) 时又称为因数函数 \(\sigma\)。

即 \(d(n)=\sum_{d|n}1\)，\(\sigma(n)=\sum_{d|n}d\)。

单位函数

记作 \(\varepsilon\)，其定义为 \(\varepsilon(n)=[n=1]\)。

对于任意一个数论函数 \(f\)，均有 \(f*\varepsilon=f\)。

莫比乌斯函数

记作 \(\mu\)，其定义为：

\[\mu(n)=\begin{cases}1 &n=1\\0 &\exists d>1,d^2|n\\(-1)^{\omega(n)} &\text{otherwise}\end{cases} \]

其中 \(\omega(n)\) 表示 \(n\) 的本质不同质因子个数。

常用数论函数之间的卷积：

表格

*	\(\varphi\)	\(\mu\)	\(I\)	\(\text{id}\)	\(d\)	\(\sigma\)	\(\varepsilon\)
\(\varphi\)	\(\setminus\)	\(\setminus\)	\(\text{id}\)	\(\mu*f_1\)	\(\sigma\)	\(f_1\)	\(\varphi\)
\(\mu\)	\(\setminus\)	\(\setminus\)	\(\varepsilon\)	\(\varphi\)	\(I\)	\(\text{id}\)	\(\mu\)
\(I\)	\(\text{id}\)	\(\varepsilon\)	\(d\)	\(\sigma\)	\(\setminus\)	\(f_2\)	\(I\)
\(\text{id}\)	\(\mu*f_1\)	\(\varphi\)	\(\sigma\)	\(f_1^{①}\)	\(f_2\)	\(I*f_1\)	\(\text{id}\)
\(d\)	\(\sigma\)	\(I\)	\(\setminus\)	\(f_2^{②}\)	\(\setminus\)	\(I*f_2\)	\(d\)
\(\sigma\)	\(f_1\)	\(\text{id}\)	\(f_2\)	\(I*f_1\)	\(I*f_2\)	\(d*f_1\)	\(\sigma\)
\(\varepsilon\)	\(\varphi\)	\(\mu\)	\(I\)	\(\text{id}\)	\(d\)	\(\sigma\)	\(\varepsilon\)

注解

①：\(f_1(n)=nd(n)\)。
②：\(f_2(n)=\sum\limits_{x|n}d(x)\frac{n}{x}\)。

常用卷积证明：

\(\mu*I=\varepsilon\)

证明：

即证明：

\[\sum_{d|n}\mu(d)I(\frac{n}{d})=\varepsilon(n) \]

化简，得：

\[\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1] \]

设 \(n\) 的唯一分解为 \(\prod\limits_{i=1}^kp_i^{\alpha_i}\)，设 \(n'=\prod\limits_{i=1}^kp_i\)，则

\[\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{d|n'}\mu(d)=\sum_{i=0}^k{k\choose i}(-1)^i=(1+(-1))^k \]

当 \(k=0\)，即 \(n=1\) 时其值为 \(1\)，否则为 \(0\)，故等式成立。

\(\varphi*I=\text{id}\)

证明：

即证明：

\[\sum_{d|n}\varphi(d)I(\frac{n}{d})=\text{id}(n) \]

化简，得

\[\sum_{d|n}\varphi(d)=n \]

设 \(f=\varphi*I\)，\(f\) 一定是一个积性函数，设 \(n\) 的唯一分解为 \(\prod\limits_{i=1}^kp_i^{\alpha_i}\)，则

\[f(n)=f(p_1^{\alpha_1})\times f(p_2^{\alpha_2})\times ... \times f(p_k^{\alpha_k}) \]

考虑 \(f(p^c)\) 的值，其中 \(p\) 是质数，不难发现：

\[f(p^c)=1+\sum_{i=1}^c\varphi(p^i) \]

根据基础数论Ⅰ中的结论，\(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)，则：

\[f(p^c)=1+\sum_{i=1}^c(p^i-p^{i-1})=p^c \]

故 \(f(n)=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times ...\times p_k^{\alpha_k}=n\)，证毕。

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