高维偏序

不知道从哪里下的 PDF，感觉写的很好。

处理偏序问题时，如果偏序条件都带等号，则需要考虑两个元素完全相同的情况，这时需要该元素 \(a\) 的统计个数 \(\textit{cnt}\)，然后统计满足偏序条件元素个数 \(x\)，则 \(a\) 的答案为 \(x-1\)，同时直接做 \(\textit{cnt}\) 的贡献。

一维偏序

排序即可。

二维偏序

排序之后树状数组统计即可。

比如逆序对。

三维偏序

luogu P3810 【模板】三维偏序 / 陌上花开

有 \(n\) 个元素，第 $ i $ 个元素有 \(a_i,b_i,c_i\) 三个属性，设 $ f(i) $ 表示满足 $ a_j \leq a_i$ 且 $ b_j \leq b_i$ 且 $ c_j \leq c_i $ 且 $ j \ne i $ 的 \(j\) 的数量。

对于所有 $ d \in [0, n) $，求 $ f(i) = d $ 的数量。

设 \(a_i,b_i,c_i\) 最大值为 \(k\)，\(1\leq n\leq10^5,1\leq a_i,b_i,c_i\leq k\leq2\times10^5\)。

树套树

考虑先按照 \(a\) 排序，之后就是要求满足 \(b_j\leq b_i,c_j\leq c_i\)，这就是一个二维限制问题。

考虑树套树解决，树状数组套线段树即可。

参考代码

但是需要稍微卡一下空间。

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
constexpr const int N=1e5,V=2e5;
struct element{
	int a,b,c;
}a[N+1];
int n,k,ans[N+1];
int size;
struct node{
	int l,r;
	int lChild,rChild;
	int value;
}t[V*80+1];
struct bit{
	struct segTree{
		int root;
		int create(node x){
			t[++size]=x;
			return size;
		}
		void up(int p){
			t[p].value=t[t[p].lChild].value+t[t[p].rChild].value;
		}
		void down(int p){
			int mid=t[p].l+t[p].r>>1;
			if(!t[p].lChild){
				t[p].lChild=create({t[p].l,mid});
			}
			if(!t[p].rChild){
				t[p].rChild=create({mid+1,t[p].r});
			}
		}
		void add(int p,int x,int k){
			if(t[p].l==t[p].r){
				t[p].value+=k;
				return;
			}
			int mid=t[p].l+t[p].r>>1;
			if(x<=mid){
				if(!t[p].lChild){
					t[p].lChild=create({t[p].l,mid});
				}
				add(t[p].lChild,x,k);
			}else{
				if(!t[p].rChild){
					t[p].rChild=create({mid+1,t[p].r});
				}
				add(t[p].rChild,x,k);
			}
			up(p);
		}
		void add(int x,int k){
			add(root,x,k);
		}
		int query(int p,int x){
			if(t[p].r<=x){
				return t[p].value;
			}
//			down(p);
			int ans=0;
			if(t[p].lChild){
				ans=query(t[p].lChild,x);
			}
			if(t[p].rChild){
				if(t[t[p].rChild].l<=x){
					ans+=query(t[p].rChild,x);
				}
			}
			return ans;
		}
		int query(int x){
			return query(root,x);
		}
	}T[V+1];
	
	int lowbit(int x){
		return x&-x;
	}
	void insert(int b,int c,int x){
		while(b<=k){
			T[b].add(c,x);
			b+=lowbit(b);
		}
	}
	int query(int b,int c){
		int ans=0;
		while(b){
			ans+=T[b].query(c);
			b-=lowbit(b);
		}
		return ans;
	}
	void build(){
		for(int i=1;i<=k;i++){
			T[i].root=T[i].create({1,k});
		}
	}
}T;
int main(){
//	freopen("test.in","r",stdin);
//	freopen("test.out","w",stdout);
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	cin>>n>>k;
	T.build();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i].a>>a[i].b>>a[i].c;
	}
	sort(a+1,a+n+1,[](element a,element b){
		if(a.a!=b.a){
			return a.a<b.a;
		}else if(a.b!=b.b){
			return a.b<b.b;
		}else{
			return a.c<b.c;
		}
	});
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int cnt=1;
		while(i<n&&a[i+1].a==a[i].a&&a[i+1].b==a[i].b&&a[i+1].c==a[i].c){
			i++;
			cnt++;
		}
		T.insert(a[i].b,a[i].c,cnt);
		ans[T.query(a[i].b,a[i].c)-1]+=cnt;
	}
	for(int i=0;i<n;i++){
		cout<<ans[i]<<'\n';
	}
	
	cout.flush();
	 
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}