如何证明一条直线与圆至多有两个交点？

其实可以推广到普通凸多边形。

反证法

假设一条直线 \(l\) 与一圆可以存在多于 \(2\) 个交点。

从交点集中选出三个点 \(A,B,C\)，连接 \(AB,BC\)。

令圆心为点 \(O\)，连接 \(OA,OB,OC\)。

\(\therefore OA=OB=OC\)。

取点 \(P\) 为 \(AB\) 中点，点 \(Q\) 为 \(BC\) 中点。

\(\because OA=OB,PA=PB\)。

\(\therefore OP \perp AB\)。

同理，\(OQ \perp BC\)。

\(\because\) 点 \(P,Q\) 不重合。

\(\therefore\) 过点 \(O\) 有两条线段垂直于直线 \(l\)，不满足“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”。

\(\therefore\) 假设不成立。

故，一条直线与一圆至多有 \(2\) 个交点。

证毕。