题解：Addition Chains

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前置知识：迭代加深搜索

定义

迭代加深是一种 每次限制搜索深度的 深度优先搜索。——OI Wiki

简单而言，就是一种限制搜索深度的DFS。有什么变化？？

过程

设搜索深度上限为 \(h\)，搜索深度为 \(p\) 。

那么 \(h\) 从 \(1\) 开始自增，并在每次自增前进行DFS。（形如 dfs(p,h,...)）

当DFS函数内部检测到 \(p\ge h\) 时，便结束递归，无论是否已经找到答案。

当所有递归结束后，如果找到了答案，那自然是最好的；否则使得 \(h\leftarrow h+1\) 后再次调用DFS从 \(p=1\) 开始递归，直至找到答案。

DFS实现的BFS？

当搜索树的分支比较多时，每增加一层的搜索复杂度会出现指数级爆炸式增长，这时前面重复进行的部分所带来的复杂度几乎可以忽略，这也就是为什么迭代加深是可以近似看成 BFS 的。

也可以这么说。

但是需要注意的是，迭代加深搜索与广度优先搜索的思想完全不一样，这么说仅仅是因为上述原因。

为什么不使用BFS？

因为BFS会 \(\text{MLE}\)。

正解：迭代加深搜索+剪枝

每次限制序列长度 \(m\) ，当 \(dfs(p,h)\) 满足 \(p>h\) 时，判断 \(a_m\) 是否等于 \(n\) 即可。

但需要注意的是，迭代加深搜索仍然摆脱不了搜索指数级的时间复杂度。因此，考虑剪枝。

• 限制搜索深度，这没什么好说的。

• 考虑到，假设第 \(i\) 项为 \(a_i\)，那么 \(a_{i+1}\) 最大为 \(a_i+a_i=2\times a_i\)，\(a_{i+2}\) 最大为 \(a_{i+1}+a_{i+1}=2\times a_{i+1}=4\times a_{i}\)，一直到 \(a_m\) 最大为 \(2^{m-i}\times a_{i}\)。

  那么当我们在 \(dfs(p,h)\) 枚举 \(a_p\) 时，便可以加上剪枝：if((a[p]<<(h-p))<n)return;

• 枚举 \(i,j<p\)，使得 \(a_p=a_i+a_j\)，为了使得 \(a_m\) 快速达到 \(n\)，我们从大到小遍历。即：\(i\) 从 \(p-1\) 到 \(1\) 遍历，\(j\) 从 \(i\) 到 \(1\) 遍历。

然后，需要特判 \(n=0\) 和 \(n=1\)，\(m\) 遍历 \(2\sim n\)。\(m=n\) 时一定有解，因为那种情况就是对于整数 \(i\in[2,n]\)，满足 \(a_i=a_{i-1}+1\)。

AC代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm> 
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
const int N=10000;
bool flag;
int n,a[N+1]={0,1};//a[1]=1
void dfs(int p,int h){
	if(p>h){
		if(a[h]==n)flag=true;
		return;
	}
	for(int i=p-1;i>=1;i--){
		for(int j=i;j>=1;j--){
			a[p]=a[i]+a[j];
			if((a[p]<<(h-p))<n)return;//位运算，常数优化
			dfs(p+1,h);
			if(flag)return;
		}
	}
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	while(true){
		scanf("%d",&n);
		if(n==0)return 0;
		if(n==1){
			printf("1\n");
			continue;
		}
		for(int m=2;m<=n;m++){
			flag=false;
			dfs(2,m);
			if(flag){
				for(int j=1;j<i;j++)printf("%d ",a[j]);
				printf("%d",a[i]);
				putchar(10);
				break;
			}
		}
	} 
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}