题解：成绩排名
题目
题目描述
小 Z 毕业后去了 H 中学教书，他带的班级有 \(n\) 个学生，对于每个学生 \(i\) 可以用一个正整数 \(A_i\) 来衡量其学习能力（\(i=1,2,3,\cdots,n\)）。有一天，小 Z 捡到了 \(k\) 本神奇教材，如果给一个学生学习了这本教材，他的学习能力就会变成原来的 \(t\) 倍。小 Z 决定将这本书随机且等概率地发放给班上的 \(n\) 个同学，每个学生最多只能得到一本书，也就是说班上会有 \(k\) 名同学被分配到书，学习能力变成 \(t\) 倍，而剩下 \(n-k\) 名同学没有书， 学习能力不变。现在小 Z 想知道，在所有的分配方案中，对于班上的每个同学来说排名保持不变的情况分别有多少种。
在这里，排名是指学习能力比他高的人的数目加 \(1\)，比方说有 \(5\) 个同学，学习能力为 \(\langle3,2,2,1,1\rangle\)，他们的排名即 \(\langle1,2,2,4,4\rangle\)。
输入格式
第一行输入 \(3\) 个整数 \(n,k,t\)，分别代表学生的数目、神奇教材的数目以及学习能力翻的倍数。第二行输入 \(n\) 个整数 ，代表每个学生的学习能力，编号从 \(1\) 到 \(n\)。
输出格式
输出 \(n\) 行，第 \(i\) 行输出一个整数代表第 \(i\) 位同学在 Z 老师发完书后学习能力排名保持不变的所有可能的情况数目。由于这些数可能非常大，请输出其对 \(10^9+7\) 取模后的结果。
输入输出样例
输入 #1
4 2 2
1 2 3 4
输出 #1
4
3
2
4
说明/提示
对于 \(10\%\) 的数据，有 \(1\leq n\leq10\)。
对于 \(30\%\) 的数据，有 \(1\leq n\leq10^3\)。
对于另外 \(10\%\) 的数据，有 \(1\leq n\leq10^5\) 且 \(k=1\)。
对于 \(100\%\) 的数据，有 \(1\leq k\leq n\leq10^5,2\leq t\leq10^3,1\leq A_i\leq10^9\)。
题解
设一个人的 \(A\) 值为 \(i\)，考虑其答案。
记 \(\vert >i\vert\) 表示所有 \(A\) 值大于 \(i\) 的人的个数。同理，有 \(\vert \leq i\vert,\cdots\)。
记 \(\left\vert[l,r]\right\vert=\vert\geq l\vert-\vert\geq r+1\vert\) 表示所有 \(A\) 值在 \([l,r]\) 中的人的个数。
分两类讨论：
-
\(i\) 不会翻倍。
因为其排名不变，\(A\) 值大于 \(i\) 的人翻倍显然不影响，这一部分人的数量为 \(\vert>i\vert\)。
而对于 \(\left\vert\leq\dfrac{i}{t}\right\vert\) 这一部分的人，其翻倍后的 \(A\) 值仍然小于等于 \(i\)，不影响 \(i\) 的排名。
从这两部分的人中选择 \(k\) 个即可，此部分答案为：
\[\begin{pmatrix} \vert>i\vert+\left\vert\leq\dfrac it\right\vert\\ k \end{pmatrix} \] -
\(i\) 会翻倍。
则 \(i\) 的 \(A\) 值会从 \(i\) 变为 \(ti\)，则 \(\vert[i+1,ti]\vert\) 这一部分的人必须都要翻倍，这样才能保证 \(i\) 的排名不变。
记 \(pl=\vert[i+1,ti]\vert+1\) 表示必须翻倍的人数。
则只有当 \(pl\leq k\) 的时候，才符合题意。
- 对于 \(\vert>ti\vert\) 这一部分人，随便翻倍都不影响 \(i\) 的排名。
- 对于 \(\vert\leq i\vert-1\) 这一部分人，翻倍依然不影响 \(i\) 的排名，因为其翻倍后小于等于 \(ti\)。（减一是为了去除当前讨论的 \(i\)，可能会存在多个 \(A\) 值相等。）
此部分的答案为：
\[\binom{\vert>ti\vert+\vert\leq i\vert-1}{k-pl} \]
对于诸如 \(\vert>i\vert\) 的求法，只需要排序后二分即可。
AC 代码
//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr const int N=1e5,P=1e9+7;
struct student{
int a,id,ans;
}a[N+1];
int n,k,t,fact[N+1];
void C_pre(int n){
fact[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
fact[i]=1ll*fact[i-1]*i%P;
}
}
int qpow(int a,int n){
int base=a,ans=1;
while(n){
if(n&1){
ans=1ll*ans*base%P;
}
base=1ll*base*base%P;
n>>=1;
}
return ans;
}
int C(int n,int m){
if(n<m||m<0||n<0){
return 0;
}
return 1ll*fact[n]*qpow(1ll*fact[m]*fact[n-m]%P,P-2)%P;
}
//≤x的数量
int leq(ll x){
int l=1,r=n+1;
while(l<r){
int mid=l+r>>1;
if(a[mid].a>x){
l=mid+1;
}else{
r=mid;
}
}
return n-r+1;
}
//≥x的数量
int geq(ll x){
return n-leq(x-1);
}
int main(){
/*freopen("test.in","r",stdin);
freopen("test.out","w",stdout);*/
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>k>>t;
C_pre(n);
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i].a;
a[i].id=i;
}
//单调不增
sort(a+1,a+n+1,[](student a,student b){
return a.a>b.a;
});
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i].ans=C(geq(a[i].a+1)+leq(a[i].a/t),k);
int pl=leq(1ll*a[i].a*t)-leq(a[i].a)+1;
if(pl<=k){
a[i].ans=(a[i].ans + C(geq(1ll*a[i].a*t+1)+leq(a[i].a)-1,k-pl))%P;
}
}
sort(a+1,a+n+1,[](student a,student b){
return a.id<b.id;
});
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<a[i].ans<<'\n';
}
cout.flush();
/*fclose(stdin);
fclose(stdout);*/
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号