题解：傻逼数学题

洛谷自建题目传送门 数据包

题目

题目描述

众所周知，数学组有一个神犇叫做 HSY。

一天他对 XYK 说：“听说你数学很好，那我出一道数学题考考你。”

“给定一个包含 \(n\) 个互不相同的数的序列 \(a\)，定义序列 \(b\) 为 \(b_i=\max\limits_{j<i,a_j<a_i}b_j+1\)，且 \(b_1=1\)。”

“定义‘\(k\) 号序列’为：满足对应的 \(b\) 序列为连续自然数的长度为 \(k\) 的字典序最小的 \(a\) 的子序列。”

“给定 \(m\) 次询问，每次询问 \(i\) 号序列与 \(j\) 号序列的最长公共子序列长度。”

XKY 冥思苦想也没能想出，在听到题解后觉得自己是个傻逼。

现在他想用这道题考考你。

输入格式

第一行两个正整数 \(n,m\)。

第二行 \(n\) 个整数表示 \(a\)。

接下来 \(m\) 行每行两个正整数 \(i,j\) 表示询问。

输出格式

\(m\) 行，每行一个整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

7 2
2 6 7 3 4 5 1
3 4
3 1

输出 #1

3
0

说明/提示

样例解释

\(a\) 对应的序列 \(b\) 为 \(\langle1,2,3,2,3,4,1\rangle\)。

\(3\) 号序列为 \(\langle2,3,4\rangle\)。

\(4\) 号序列为 \(\langle2,3,4,5\rangle\)。

\(1\) 号序列为 \(\langle1\rangle\)。

数据范围

对于 \(10\%\) 的数据，\(n,m\leq10\)。

对于 \(20\%\) 的数据，\(n,m\leq1000\)。

对于 \(100\%\) 的数据，\(n,m\leq500000\)。

附件下载

mathSample.zip

题解

题意分析

首先分析序列 \(b\)，显然就是求最长上升子序列，\(b_i\) 表示以 \(a_i\) 结尾的最长上升子序列的长度。

而所谓“\(k\) 号序列”，即字典序最小的长度为 \(k\) 的上升子序列。

不妨令上升子序列中，\(a_i\) 接在 \(a_j\) 后面，则可以就此关系画出一个森林。

原来的 \(b_i\) 此时便成为了节点 \(i\) 的深度。

那么询问 \(x,y\) 时，只需要找到一个深度为 \(x\) 的节点 \(id_x\) 和一个深度为 \(y\) 的节点 \(id_y\)，求出其 LCA 的深度即可。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
constexpr const int N=500000,M=500000;
int n,m,a[N+1],b[N+1],id[N+1],f[N+1][__lg(N+1)+1];
//dp[i]:长度为 i 的lis结尾的数 
int len,dp[N+1];
//倍增 LCA 
int lca(int u,int v){
	if(b[u]<b[v]){
		swap(u,v);
	}
	for(int i=__lg(b[u]-b[v]);i>=0;i--){
		if(b[f[u][i]]>=b[v]){
			u=f[u][i];
		}
	}
	if(u==v){
		return u;
	}
	for(int i=__lg(b[u]);i>=0;i--){
		if(f[u][i]!=f[v][i]){
			u=f[u][i],v=f[v][i];
		}
	}
	return f[u][0];
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",a+i);
	}
	//b:即求 lis 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		b[i]=lower_bound(dp+1,dp+len+1,a[i])-dp;
		len=max(len,b[i]);
		dp[b[i]]=a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		//id[x]:x最晚出现的位置,保障字典序最小 
		id[b[i]]=i;
		f[i][0]=id[b[i]-1];
	}
	for(int i=1;(1<<i)<=n;i++){
		for(int x=1;x<=n;x++){
			f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
		}
	}
	while(m--){
		int x,y;
		scanf("%d %d",&x,&y);
		//将出现的位置做成一个树,公共子序列即求lca。 
		printf("%d\n",b[lca(id[x],id[y])]);
	}
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}