线段树优化建图

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给定一张 \(n\) 个点的图，完成 \(q\) 次建边操作，每次建边有权值：

• 建有向边 \(v\rightarrow u\)。
• 对于 \(i\in[l,r]\)，建边 \(v\rightarrow i\)。
• 对于 \(i\in[l,r]\)，建边 \(i\rightarrow v\)。

求最终图的最短路。

满足 \(1\leq n\leq10^5\)。

线段树优化建图

朴素建图会产生至多 \(\mathcal O(qn)\) 条边，这是无法接受的。

区间操作，考虑使用线段树如何去优化这个过程。

例如，\(n=4\)，对于 \(i\in[1,3]\)，建边 \(4\rightarrow i\)。

如果有一个虚拟节点 \([1,2]\) 向 \(1,2\) 均连了权值为 \(0\) 的边，那么等价于建边 \(4\rightarrow[1,2],4\rightarrow3\)：

这是一棵维护 \(x\rightarrow[l,r]\) 的线段树，同样还有一棵维护 \(x\leftarrow[l,r]\) 的线段树。

这样，单次操作至多增加 \(\mathcal O(\log n)\) 条边，复杂度可以接受。

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网络上有很多两棵线段树间连边的图，然而这样是完全没必要的。钦定线段树叶节点对应原图对应节点即可。

这样，只需要 \(\mathcal O(3n)\) 个节点和 \(\mathcal O(q\log n)\) 条边，就可以解决原问题。

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注意「线段树优化建图」中的线段树不需要维护除对应原图节点、区间端点编号外的任何信息，仅仅是为了建图。

例题 AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr const int N=1e5;
constexpr const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,cnt;
vector<pair<int,ll> >g[N<<3|1];
struct segTree{
	bool mode;
	struct node{
		int l,r;
		int id;//图上编号
	}t[N<<2|1];
	
	void build0(int p,int l,int r){
		t[p]={l,r};
		if(l==r){
			 t[p].id=l;
			 return;
		}
		t[p].id=++cnt;
		int mid=l+r>>1;
		build0(p<<1,l,mid);
		build0(p<<1|1,mid+1,r);
		if(!mode){
			g[t[p].id].push_back({t[p<<1].id,0});
			g[t[p].id].push_back({t[p<<1|1].id,0});
		}else{
			g[t[p<<1].id].push_back({t[p].id,0});
			g[t[p<<1|1].id].push_back({t[p].id,0});
		}
	}
	void build(int l,int r,bool Mode){
		mode=Mode;
		build0(1,l,r);
	}
	//mode=0:x -> [l,r]
	//mode=1:x <- [l,r]
	void create(int p,int l,int r,int x,int w){
		if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r){
			if(!mode){
				g[x].push_back({t[p].id,w});
			}else{
				g[t[p].id].push_back({x,w});
			}
			return;
		}
		if(l<=t[p<<1].r){
			create(p<<1,l,r,x,w);
		}
		if(t[p<<1|1].l<=r){
			create(p<<1|1,l,r,x,w);
		}
	}
}A,B;
ll dis[N<<3|1];
void Dijkstra(int s){
	priority_queue<pair<ll,int>,vector<pair<ll,int> >,greater<pair<ll,int> > >q;
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	static bool vis[N<<3|1];
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	dis[s]=0; 
	q.push({dis[s],s});
	while(q.size()){
		int x=q.top().second;q.pop();
		if(vis[x]){
			continue;
		}
		vis[x]=true;
		for(auto &i:g[x]){
			int &v=i.first;
			ll &w=i.second;
			if(vis[v]){
				continue;
			}
			if(dis[x]+w<dis[v]){
				dis[v]=dis[x]+w;
				q.push({dis[v],v});
			}
		}
	}
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	int q,s;
	cin>>n>>q>>s;
	cnt=n;
	A.build(1,n,0);
	B.build(1,n,1);
	while(q--){
		int op,u,v,l,r,w;
		cin>>op>>v;
		switch(op){
			case 1:
				cin>>u>>w;
				g[v].push_back({u,w});
				break;
			case 2:
				cin>>l>>r>>w;
				A.create(1,l,r,v,w);
				break;
			case 3:
				cin>>l>>r>>w;
				B.create(1,l,r,v,w);
				break;
		}
	}
	Dijkstra(s);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(dis[i]==inf){
			cout<<"-1 ";
		}else{
			cout<<dis[i]<<' ';
		}
	}
	
	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}