线段树历史操作

历史和线段树

例题：Loj P193 线段树历史和

您需要写一种数据结构，来维护一个有序数列，其中需要提供以下操作：

1. 区间加一个数。
2. 查询区间的历史和。

历史和定义为数列 \(h_i\) 的区间和：初始 \(h_i=a_i\)，在每次操作（修改或查询）完成后，对所有 \(h_i \leftarrow h_i+a_i\)。

考虑使用线段树维护区间信息。

矩阵乘法

每一个线段树节点维护信息矩阵：

\[\begin{bmatrix} \textit{history}\\ \textit{sum}\\ \textit{len} \end{bmatrix} \]

其中，\(\textit{history},\textit{sum},\textit{len}\) 分别表示区间历史和、区间和、区间长度。

合并节点可以直接相加。

• 区间加 \(k\) 后更新区间和，有：

  \[\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&k \\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textit{history}\\ \textit{sum}\\ \textit{len} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \textit{history}\\ \textit{sum}+k\cdot\textit{len}\\ \textit{len} \end{bmatrix} \]

• 更新区间历史和，有：

  \[\begin{bmatrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textit{history}\\ \textit{sum}\\ \textit{len} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \textit{history}+\textit{sum}\\ \textit{sum}\\ \textit{len} \end{bmatrix} \]

线段树维护两种操作即可。

更新时只更新操作区间的区间和。操作结束后，更新全局的区间历史和。

参考代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
#define int long long
constexpr const int N=1e5;
int n,a[N+1];
struct Matrix{
	int n,m;
	int a[3][3];
	Matrix(int nn=-1,int mm=-1){
		if(mm==-1){
			mm=nn;
		}
		if(nn!=-1){
			n=nn,m=mm;
		}else{
			n=0,m=0;
		}
		memset(a,0,sizeof(a));
	}
	Matrix(initializer_list<initializer_list<int>> x){
		n=x.size();m=0;
		for(auto &i:x){
			m=max(m,(int)i.size());
		}
		int pi=0;
		for(auto &i:x){
			int pj=0;
			for(auto &j:i){
				a[pi][pj]=j;
				pj++;
			}
			pi++;
		}
	}
	int* operator [](const int &x){
		return a[x];
	}
	void unit(){
		memset(a,0,sizeof(a));
		for(int i=0;i<n;i++){
			a[i][i]=1;
		}
	} 
	void print(){
		for(int i=0;i<n;i++){
			for(int j=0;j<m;j++){
				cout<<a[i][j]<<' ';
			}
			cout<<endl;
		}
	}
};
Matrix operator *(Matrix A,Matrix B){
	Matrix C(A.n,B.m);
	for(int i=0;i<A.n;i++){
		for(int j=0;j<B.m;j++){
			for(int k=0;k<A.m;k++){
				C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j];
			}
		}
	}
	return C;
}
Matrix& operator *=(Matrix &A,Matrix B){
	return A=A*B;
}
Matrix operator +(Matrix A,Matrix B){
	Matrix C(A.n,A.m);
	for(int i=0;i<A.n;i++){
		for(int j=0;j<A.m;j++){
			C[i][j]=A[i][j]+B[i][j];
		} 
	} 
	return C;
}
Matrix& operator +=(Matrix &A,Matrix B){
	for(int i=0;i<A.n;i++){
		for(int j=0;j<A.m;j++){
			A[i][j]+=B[i][j];
		}
	}
	return A;
}
struct segTree{
	struct node{
		int l,r;
		Matrix value,tag;
		int size(){
			return r-l+1;
		}
	}t[N<<2|1];
	
	void up(int p){
		t[p].value=t[p<<1].value+t[p<<1|1].value;
	}
	void build(int p,int l,int r){
		t[p]={l,r};
		t[p].tag=Matrix(3);
		t[p].tag.unit();
		if(l==r){
			t[p].value={{a[l]},{a[l]},{1}};
			return;
		}
		int mid=l+r>>1;
		build(p<<1,l,mid);
		build(p<<1|1,mid+1,r);
		up(p);
	}
	void down(int p){
		t[p<<1].value=t[p].tag*t[p<<1].value;
		t[p<<1].tag=t[p].tag*t[p<<1].tag;
		t[p<<1|1].value=t[p].tag*t[p<<1|1].value;
		t[p<<1|1].tag=t[p].tag*t[p<<1|1].tag;
		t[p].tag.unit();
	}
	void update(int p,int l,int r,Matrix pl){
		if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r){
			t[p].value=pl*t[p].value;
			t[p].tag=pl*t[p].tag;
			return; 
		}
		down(p);
		if(l<=t[p<<1].r){
			update(p<<1,l,r,pl);
		}
		if(t[p<<1|1].l<=r){
			update(p<<1|1,l,r,pl);
		}
		up(p);
	}
	int query(int p,int l,int r){
		if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r){
			return t[p].value[0][0];
		}
		down(p);
		int ans=0;
		if(l<=t[p<<1].r){
			ans=query(p<<1,l,r);
		}
		if(t[p<<1|1].l<=r){
			ans+=query(p<<1|1,l,r);
		}
		return ans;
	}
}t;
main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	int m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	t.build(1,1,n);
	while(m--){
		int op,l,r,x;
		cin>>op;
		switch(op){
			case 1:
				cin>>l>>r>>x;
				t.update(1,l,r,{{1,0,0},{0,1,x},{0,0,1}});
				break;
			case 2:
				cin>>l>>r;
				cout<<t.query(1,l,r)<<'\n';
				break;
		}
		t.update(1,1,n,{{1,1,0},{0,1,0},{0,0,1}});
	}
	
	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}

懒标记

自行拆解矩阵乘法即可。

但是矩阵乘法可以天然避免操作顺序等其他问题。

问题转化

设 \(t\) 为当前版本，维护 \(c_i=h_i-t\cdot a_i\)。

记 \(t'=t-1\) 为操作前的版本，则将区间 \([l,r]\) 增加 \(k\)，对于 \(i\in[l,r]\)，有：

\[c_i\leftarrow c_i-t'\cdot k \]

因此维护 \(c_i\) 的区间加法即可。