浅谈随机化算法

随机函数

应该很简单，介绍三个最常用的。

rand()，会返回一个在 $[0,r]$ 内的随机整数。$r$ 为 RAND_MAX，标准库中的宏，在 Windows 下取 $2^{15}-1$，在 Linux 下取 $2^{31}-1$。rand() 效率较低。

可使用 srand(seed) 做种。配合 time(0)。
mt19937，可用于快速生成高质量的在 $\left[0,2^{32}-1\right]$ 范围内的随机整数，返回值为 unsigned int。

定义方式：
```
#include<random>
mt19937 Rand(time(0));
```
之后直接调用 Rand() 生成整数即可，定义时填入的 time(0) 是为了做种。

关于 mt19937_64

mt19937_64 是 $64$ 位的 mt19937 的实现，可生成 $\left[0,2^{64}-1\right]$ 范围内的整数，返回 unsigned long long。
shuffle，用于随机打乱序列，时间复杂度 $\mathcal O(n)$。
```
shuffle(a+1,a+n+1,Rand);
```
其中 Rand 为随机数生成函数，推荐 mt19937。

爬山算法

也称「梯度下降」。

考虑当前状态 $x$，$x$ 可以转移到一个新的状态 $y$，如果说 $y$ 的答案优于 $x$，则保留 $y$，否则保持 $x$ 不变。其实爬山算法就是贪心算法，最终会找到一个局部最优解。

因此当且仅当原问题单峰时，爬山算法可以保证得到正解。而你使用爬山算法，往往是因为你不会利用单峰的性质。

爬山算法引入温度参数，用于确定单次状态偏移量的大小。温度参数逐渐下降，偏移量也逐渐变小，最终趋近于最优解。降温参数接近于 $1$。具体而言，设温度参数 $t$、降温参数 $d$，则每次更新状态后令 $t\leftarrow dt$。同时，根据 $t$ 的大小来确定偏移量的大小。

luogu P1337 [JSOI2004] 平衡点 / 吊打XXX

即求 $n$ 个点的带权类费马点。

几何题，或者物理题。可以使用力的分解、正交分解或势能分析来解决。

计算合力方向，运用爬山算法向该方向偏移即可。

调参与卡时

爬山算法在降温参数过大时，可能会因为运行次数过多而超时。这时就需要修改降温参数以使得程序能够在限定时间内完成，即调参。

但是在有些时候，你可以通过在快要超时时输出当前最优解，称之为卡时。

注意：降温参数过低可能导致爬山算法答案错误。

参考代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
constexpr const int N=1000;
constexpr const double eps=1e-6;
struct node{
	int x,y,w;
}a[N+1];
int n;
double dist(pair<double,double>a,pair<double,double>b){
	return sqrt((a.first-b.first)*(a.first-b.first)+(a.second-b.second)*(a.second-b.second));
}
void move(double &x0,double &y0,double op){
	double deltaX=0,deltaY=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		double d=dist({x0,y0},{a[i].x,a[i].y});
		if(d==0){
			continue;
		}
		deltaX+=a[i].w*(a[i].x-x0)/d;
		deltaY+=a[i].w*(a[i].y-y0)/d;
	}
	double d=sqrt(deltaX*deltaX+deltaY*deltaY);
	if(d==0){
		return;
	}
	x0+=op*deltaX/d;
	y0+=op*deltaY/d;
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].w;
	}
	double x0=0,y0=0,op=10000*sqrt(2);
	while(op>eps){
		move(x0,y0,op);
		op*=0.9;
	}
	cout<<fixed<<setprecision(3)<<x0<<' '<<y0<<'\n';
	
	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}

模拟退火

Simulated Annealing，也称 SA 算法。

考虑爬山算法可能会陷入某个局部最优解中无法跳出，因此便有了模拟退火。模拟退火会以一定概率跳出局部最优解，从而寻找可能的全局最优解。

关于退火

退火是一种金属热处理工艺，指的是将金属缓慢加热到一定温度，保持足够时间，然后以适宜速度冷却。目的是降低硬度，改善切削加工性；消除残余应力，稳定尺寸，减少变形与裂纹倾向；细化晶粒，调整组织，消除组织缺陷。准确的说，退火是一种对材料的热处理工艺，包括金属材料、非金属材料。而且新材料的退火目的也与传统金属退火存在异同。

~~显然这一段都没什么用。~~

模拟退火引入温度参数，模拟金属退火的过程。~~虽然我并不觉得有什么联系。~~

模拟退火简单概括为：对于一个新状态，若更优则接受，否则以一定概率接受；过程中记录全局最优解。

对于当前状态 $s$ 的新状态 $s'$，$s'$ 更优显然 $s'$ 更优，应当被接受为可能的全局最优解，转移到 $s'$。
否则设温度参数 $t$，答案的差为 $\Delta\geq0$，则转移到 $s'$ 的概率为：

\[\mathrm{e}^{-\frac{\Delta}t} \]

具体而言，设温度参数 $t$ 初始为极大值，降温参数 $d$ 接近于 $1$。每次更新状态后令 $t\leftarrow dt$，$t$ 足够小时结束模拟退火。显然，$\Delta$ 一定，$t$ 减小时，$\mathrm e^{-\frac\Delta t}$ 会减小。

因此初期模拟退火偏移程度较大，后期较平缓、稳定。

但是，模拟退火的新状态寻找是随机的，新状态偏移量与 $t$ 无关，这与爬山算法不同。

一张著名的图，展示模拟退火的过程：

luogu P2210 [USACO13OPEN] Haywire B

给定 $a_{i,1},a_{i,2},a_{i,3}(1\leq i\leq n,n\leq12)$，将 $a$ 进行全排列，设 $p_i$ 为 $a_i$ 的位置，求下式的最小值：

\[\dfrac12\sum_{i=1}^n\left(\vert p_i-p_{a_{i,1}}\vert+\vert p_i-p_{a_{i,2}}\vert+\vert p_i-p_{a_{i,3}}\vert\right) \]

显然 $n\leq11$ 时都可以 $\mathcal O(n\cdot n!)$ 完成，但 $n=12$ 时就需要跑约 $\text{14s}$。考虑一些乱搞做法，考虑模拟退火。

那么每次就随机选择两个点交换，计算答案即可。

同时，模拟退火的退火次数越多，正确率越高。因此常配合卡时来尽可能高的提升正确率。（同样需要调参）

参考代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
#include<random>
using namespace std;
constexpr const int N=12;
constexpr const double eps=1e-6;
mt19937 Rand(time(0));
int n,a[N+1][4],p[N+1];
int calc(){
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans+=abs(p[i]-p[a[i][1]])+abs(p[i]-p[a[i][2]])+abs(p[i]-p[a[i][3]]);
	}
	return ans;
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i][1]>>a[i][2]>>a[i][3];
		p[i]=i;
	}
	int ans=calc();
	while(clock()<=0.95*CLOCKS_PER_SEC){
		int t=1000,d=0.985;
		while(t>=eps){
			t*=d;
			int x=Rand()%n+1,y=Rand()%n+1;
			swap(p[x],p[y]);
			int pl=calc();
			if(pl<=ans){
				ans=pl;
			}else{
				if(Rand()/((1ll<<32)-1.0)<=exp(-1.0*(pl-ans)/t)){
					continue;
				}else{
					swap(p[x],p[y]);
				}
			}
		}
	}
	ans>>=1;
	cout<<ans<<'\n';
	
	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}

luogu P3959 [NOIP 2017 提高组] 宝藏

当然可以写 $\mathcal O\left(n3^n\right),\mathcal O\left(n^23^n\right)$ 的状压 DP，但是模拟退火显然更为简单。

posted @ 2025-11-20 20:00 TH911 阅读(4) 评论(0) 收藏举报

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