题解：[春季测试 2023] 圣诞树

题目传送门

题意分析

首先确定起点 \(k\) 是简单的。记 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 为原来的 \(n\) 个点。

可以统一将 \(a_1,a_2,\cdots,a_k\) 与 \(a_{k+1},a_{k+2},\cdots,a_n\) 交换在序列中的位置，这样便于处理。交换后仍然为凸多边形。

考虑原问题等价于对新的 \(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}\) 进行全排列，求最小答案。因此考虑 DP。

设 \(\textit{dp}_{l,r,0},\textit{dp}_{l,r,1}\) 分别表示走完 \(a_l\sim a_r\)，最终停在 \(a_l\) 或者 \(a_r\) 的最小代价。

记 \(\operatorname{dist}(i,j)\) 表示 \(a_i,a_j\) 之间的距离，则有：

\[\begin{aligned} \textit{dp}_{l,r,0}&=\min(\textit{dp}_{l+1,r,0}+\operatorname{dist}(l+1,l),\textit{dp}_{l+1,r,1}+\operatorname{dist}(r,l))\\ \textit{dp}_{l,r,1}&=\min(\textit{dp}_{l,r-1,0}+\operatorname{dist}(l,r),\textit{dp}_{l,r-1,1}+\operatorname{dist}(r-1,r))\\ \end{aligned} \]

因为路径不会交叉。路径交叉一定不优，可以将其转化为不交叉的情况。

输出路径，记录每一个 \(\textit{dp}_{l,r,i}\) 的前驱状态 \(\textit{pre}_{l,r,i}\) 即可，注意到其实只和 \(i\in\set{0,1}\) 有关，因此可以只记录前驱状态的 \(i\)。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
constexpr const double eps=1e-12,inf=1e17;
constexpr const int N=1e3;
struct node{
	double x,y;
	int id;
}a[N+1],tmp[N+1];
int n,k;
double dp[N+1][N+1][2];
int pre[N+1][N+1][2];
double dist(int i,int j){
	return sqrt((a[i].x-a[j].x)*(a[i].x-a[j].x)+(a[i].y-a[j].y)*(a[i].y-a[j].y));
}
bool equal(double a,double b){
	return abs(a-b)<=eps;
}
void print(int l,int r,bool op){
	if(l==r){
		cout<<a[l].id<<' ';
		return;
	}
	switch(op){
		case 0:
			cout<<a[l].id<<' ';
			print(l+1,r,pre[l][r][op]);
			break;
		case 1:
			cout<<a[r].id<<' ';
			print(l,r-1,pre[l][r][op]);
			break;
	}
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i].x>>a[i].y;
		a[i].id=i;
		tmp[i]=a[i]; 
	}
	k=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(a[i].y>a[k].y){
			k=i;
		}
	}
	for(int i=1;i<=k;i++){
		a[i+n-k]=tmp[i];
	}
	for(int i=k+1;i<=n;i++){
		a[i-k]=tmp[i];
	}
	for(int len=2;len<=n;len++){
		for(int l=1,r=len;r<=n;l++,r++){
			double x=dp[l+1][r][0]+dist(l+1,l);
			double y=dp[l+1][r][1]+dist(r,l);
			if(x<y){
				dp[l][r][0]=x;
				pre[l][r][0]=0;
			}else{
				dp[l][r][0]=y;
				pre[l][r][0]=1;
			}
			x=dp[l][r-1][0]+dist(l,r);
			y=dp[l][r-1][1]+dist(r-1,r);
			if(x<y){
				dp[l][r][1]=x;
				pre[l][r][1]=0;
			}else{
				dp[l][r][1]=y;
				pre[l][r][1]=1;
			}
		}
	}
	cout<<a[n].id<<' ';
	if(dp[1][n-1][0]+dist(1,n)<dp[1][n-1][1]+dist(n-1,n)){
		print(1,n-1,0);
	}else{
		print(1,n-1,1);
	}
    
	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}