题解：[CSP-J 2022] 逻辑表达式

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题意分析

给定一个 bool 运算表达式，求其值和两种布尔短路在运算途中发生的次数。

首先，对于这种让你“计算表达式”的题目，一般来讲就是栈、递归。

然而我们看到这之中，“运算优先级”就十分的烦人。

我们可以考虑手动给给定的表达式添加括号，也可以考虑转后缀或前缀表达式进行运算。

我们同样可以使用栈来模拟， & 直接算，而 | 在有括号时才计算。

在本文，给出一种基于递归的的做法。

处理策略

（不会有人不知道 \(\land\) 是与，\(\lor\) 是或吧......）

对于给定表达式 \(a\)，我们一定可以将其拆分为若干表达式 \(a[l_1,r_1],a[l_2,r_2],a[l_3,r_3],\cdots,a[l_p,r_p]\)。

我们定义 \(dfs(l,r)\) 表示 \(a[l,r]\) 的值。

比如说对于表达式 1&(2|3)，\(a[1,7]\) 就是 1&(2|3)，\(a[4,6]\) 就是 2|3。

对应地，\(dfs(1,7)=dfs(1,1)\land dfs(4,6)=1\land(2\lor3)=1\)。

那么，我们考虑 \(dfs(l,r)\) 内部怎么写。

首先，当 \(l,r\) 满足 \(l=r\) 时，无疑 \(dfs(l,r)=a_l=a_r\)。（无需考虑 \(a_l\) 是不是符号，是符号的话不会调用）

记 \(f_1[i],f_2[i]\) 分别为离 \(a_i\) 最近的同一层括号内 | 和 & 的位置。

那么当我们调用 \(dfs(l,r)\) 时，先判断 \(f_1[r],f_2[r]\) 的值是否在 \([l,r]\) 内，如果在，就说明需要进行计算。

以 \(\large a_{f_1[r]}\) 为例：

我们将 \(a[l,r]\) 拆分为两个表达式：\(a[l,f_1[r]-1]\lor a[f_1[r]+1,r]\)，那么对应地就有递归式 \(dfs(l,r)=dfs(l,f_1[r]-1)\lor dfs(f_1[r]+1,r)\)。

这样我们就可以递归求解。（其实就是形如 \(a\land b\) 和 \(a\lor b\)）。

如果 \(f_1[r],f_2[r]\) 的值都不合法，两种情况：

• \(l=r\)。

• \(a[l,r]\) 是形如 \((s)\) 的形式，其中 \(s\) 为合法表达式；那么显然此时有 \(dfs(l,r)=dfs(l+1,r-1)\)。

  但是，注意不要将此条件放在 \(dfs(l,r)\) 的开始的同时判定条件写为 if(a[l]=='('&&a[r]==')')。因为，\(a[l,r]\) 同样也能形如 \((b)\land(c)\)。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm> 
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
const int N=1e6;
//1:|,2:& 
int n,cnt1,cnt2,pl1[N+1],pl2[N+1],f1[N+1],f2[N+1];
char a[N];
void pre(){
	static int pl1[N+1],pl2[N+1];
	int pl=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	switch(a[i]){
    		case '(':
    			pl++;
    			break;
    		case ')':
    			pl--;
    			break;
    		case '|':
    			pl1[pl]=i;
    			break;
    		case '&':
    			pl2[pl]=i;
    			break;
		}//i之前最近的 |和 &(同层括号内)
		f1[i]=pl1[pl];
		f2[i]=pl2[pl];
    }
}
bool dfs(int l,int r){
	if(l==r)return a[l]^48;
	//a|b
	if(f1[r]>l){
		bool ans=dfs(l,f1[r]-1);
		if(ans){
			cnt2++;
			return true;
		}return dfs(f1[r]+1,r);
	}//a&b
	else if(f2[r]>l){
		bool ans=dfs(l,f2[r]-1);
		if(!ans){
			cnt1++;
			return false;
		}return dfs(f2[r]+1,r);
	}//(a) -> a
	if(a[l]=='('&&a[r]==')')return dfs(l+1,r-1);
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
    scanf("%s",a+1);
    n=strlen(a+1);
	pre();
    int ans=dfs(1,n);
	printf("%d\n%d %d\n",ans,cnt1,cnt2);
    
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}