题解：[NOIP2021] 方差

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测试点 $1\sim8$

首先，题目的操作即交换差分。

将答案变式：

\[\begin{aligned} n^2\cdot\dfrac1n\sum_{i=1}^n\left(a_i-\overline{a}\right)^2&=n\sum_{i=1}^n\left(a_i-\overline{a}\right)^2\\ &=n\sum_{i=1}^n\left(a_i-\dfrac1n\sum_{i=1}^na_i\right)^2\\ &=n\sum_{i=1}^n\left(a_i^2-2a_i\dfrac1n\sum_{i=1}^na_i+\left(\dfrac1n\sum_{i=1}^na_i\right)^2\right)\\ &=n\sum_{i=1}^na_i^2-2\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2+\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2\\ &=n\sum_{i=1}^na_i^2-\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2 \end{aligned} \]

因此，求得差分 $\textit{diff}_i=a_i-a_{i-1}$ 后，对 $\textit{diff}_2,\textit{diff}_3,\cdots,\textit{diff}_n$ 全排列，每次 $\mathcal O(n)$ 统计答案即可。

渐进时间复杂度上界为 $\mathcal O((n-1)!)$，可以通过测试点 $1\sim5$。但是注意到测试点 $6\sim8$ 的值域较小，因此本质不同的 $\textit{diff}_i$ 不多，仍然可以通过。

期望得分：$\text{32pts}$。

参考代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
constexpr const int N=1e4,V=600;
int n,a[N+1],diff[N+1];
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		diff[i]=a[i]-a[i-1];
	}
	sort(diff+2,diff+n+1);
	int ans=2147483647;
	do{
		for(int i=1;i<=n;i++){
			a[i]=a[i-1]+diff[i];
		}
		int pl=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			pl+=a[i]*a[i];
		}
		pl*=n;
		int sum=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			sum+=a[i];
		}
		ans=min(ans,pl-sum*sum);
	}while(next_permutation(diff+2,diff+n+1));
	cout<<ans<<'\n';

	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}

测试点 $9\sim22$

交换差分的操作具有一个性质：最终方差最小时，差分 $\textit{diff}_2,\textit{diff}_3,\cdots,\textit{diff}_n$ 是单谷的。

即中间存在一个最小值 $\textit{diff}_i$，对于 $1<j<i$，差分单调不增，有 $\textit{diff}_j\geq\textit{diff}_{j+1}$；对于 $i<j$，差分单调不降，有 $\textit{diff}_{j-1}\leq\textit{diff}_j$。

证明

记 $\overline a$ 为 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的平均值。假设差分单谷成立。

对于 $a_i<\overline a$ 的前半部分，可以发现差分单调递减时更优。因为这样会有更多元素接近于 $\overline a$。
对于 $\overline a<a_i$ 的后半部分，可以发现差分单调递增时更优。因为这样会有更多元素接近于 $\overline a$。

当差分不为单谷时，可以通过交换差分的方式，将其交换为单谷的形式，这样更优。

在此之后，便考虑 DP 求解。

为了便于 DP，重定义 $\textit{diff}_i=a_{i+1}-a_i,\textit{pre}_i=\sum\limits_{j=1}^i\textit{diff}_j$。

不妨令 $\textit{diff}_1,\textit{diff}_2,\cdots,\textit{diff}_{n-1}$ 单调不降。

设 $\textit{dp}_{i,j}$ 表示插入了 $\textit{diff}_1,\textit{diff}_2,\cdots,\textit{diff}_{i-1}$ 后，使得 $\sum\limits_{k=1}^{i-1}a_k=j$ 的最小的 $\sum\limits_{k=1}^{i-1}a_k^2$。答案即：

\[\min\limits_{i=0}^{n\cdot a_n}\left(n\cdot\textit{dp}_{n,i}-i^2\right) \]

显然有 DP 边界：

\[\textit{dp}_{1,0}=0 \]

考虑从左右两边分别插入 $\textit{diff}_i$，有：

\[\begin{aligned} \textit{dp}_{i+1,j+i\cdot\textit{diff}_i}&\leftarrow\min\left(\textit{dp}_{i+1,j+i\cdot\textit{diff}_i},\textit{dp}_{i,j}+2j\cdot\textit{diff}_i+i\cdot\textit{diff}_i^2\right)\\ \textit{dp}_{i+1,j+\textit{pre}_i}&\leftarrow\min\left(\textit{dp}_{i+1,j+\textit{pre}_i},\textit{dp}_{i,j}+\textit{pre}_i^2\right)\\ \end{aligned} \]

时间复杂度：$\mathcal O\left(n^2V\right)$。滚动数组优化即可避免 MLE。

期望得分：$\text{88pts}$。

参考代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr const int N=1e4,V=600,Size=5e5;
constexpr const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,a[N+1],diff[N+1],pre[N+1];
ll dp[2][Size+1];
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		diff[i]=a[i+1]-a[i];
	}
	sort(diff+1,diff+n);
	for(int i=1;i<n;i++){
		pre[i]=pre[i-1]+diff[i];
	}
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	bool mode=0;
	dp[1][0]=0;
	for(int i=1;i<n;i++){
		mode=!mode;
		memset(dp[!mode],0x3f,sizeof(dp[!mode]));
		for(int j=0;j<=n*a[n];j++){
			if(dp[mode][j]==inf){
				continue;
			}
			dp[!mode][j+i*diff[i]]=min(dp[!mode][j+i*diff[i]],dp[mode][j] + 2ll*j*diff[i] + 1ll*i*diff[i]*diff[i]);
			dp[!mode][j+pre[i]]=min(dp[!mode][j+pre[i]],dp[mode][j]+1ll*pre[i]*pre[i]);
		}
	}
	ll ans=inf;
	for(int i=0;i<=n*a[n];i++){
		if(dp[!mode][i]==inf){
			continue;
		}
		ans=min(ans,n*dp[!mode][i]-1ll*i*i);
	}
	cout<<ans<<'\n';

	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}

测试点 $23\sim25$

注意到当 $n=10^4$ 时，$\mathcal O\left(n^2V\right)$ 不再能被接受。

但是注意到此时 $V=50$ 较小，因此必然会有很多重复的 $a_i$，因此会有很多 $\textit{diff}_i=0$。对于这一部分无需进行转移，可以跳过。

因此可以做到 $\mathcal O\left(\min(n,V)nV\right)$ 的时间复杂度。

期望得分：$\text{100pts}$。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr const int N=1e4,V=600,Size=5e5;
constexpr const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,a[N+1],diff[N+1],pre[N+1];
ll dp[2][Size+1];
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		diff[i]=a[i+1]-a[i];
	}
	sort(diff+1,diff+n);
	for(int i=1;i<n;i++){
		pre[i]=pre[i-1]+diff[i];
	}
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	bool mode=0;
	dp[1][0]=0;
	for(int i=1;i<n;i++){
		if(!diff[i]){
			continue;
		}
		mode=!mode;
		memset(dp[!mode],0x3f,sizeof(dp[!mode]));
		for(int j=0;j<=n*a[n];j++){
			if(dp[mode][j]==inf){
				continue;
			}
			dp[!mode][j+i*diff[i]]=min(dp[!mode][j+i*diff[i]],dp[mode][j] + 2ll*j*diff[i] + 1ll*i*diff[i]*diff[i]);
			dp[!mode][j+pre[i]]=min(dp[!mode][j+pre[i]],dp[mode][j]+1ll*pre[i]*pre[i]);
		}
	}
	ll ans=inf;
	for(int i=0;i<=n*a[n];i++){
		if(dp[!mode][i]==inf){
			continue;
		}
		ans=min(ans,n*dp[!mode][i]-1ll*i*i);
	}
	cout<<ans<<'\n';

	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}

posted @ 2025-08-09 20:52 TH911 阅读(8) 评论(0) 收藏举报

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光阴不可测，岁月亦无歌。

题解：[NOIP2021] 方差

测试点 \(1\sim8\)

测试点 \(9\sim22\)

测试点 \(23\sim25\)

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