题解：[POI 1997] 跳
题意分析
观察棋子的跳法，不难想到斐波那契数列（本文中“斐波那契数列”均将下标视为无限延伸）。
设斐波那契数列第 \(i\) 项为 \(f_i\)，满足 \(f_i=f_{i-1}+f_{i-2}\)。
因此可以想到每一个位置都对应斐波那契数列中的某一项。设位置 \(i\) 的棋子数量为 \(\textit{cnt}_i\)。
则两种跳法对应：
-
向左跳：
\[\textit{cnt}_{p-2}\leftarrow\textit{cnt}_{p-2}+1\\ \textit{cnt}_{p-1}\leftarrow\textit{cnt}_{p-1}+1\\ \textit{cnt}_p\leftarrow\textit{cnt}_p-1\\ \]可以发现，这即将 \(f_p\) 转化为 \(f_{p-1},f_{p-2}\)。
-
向右跳：同理，将 \(f_{p-1},f_{p-2}\) 转化为 \(f_p\)。
那么，题目即要求我们构造一组互不相邻的斐波那契数。
容易发现，这些斐波那契数的总和不变，因此可以算出来记作 \(g\)。
想要构造互不相邻的斐波那契数，可以考虑贪心。从大到小枚举斐波那契数 \(f_k\)，若 \(g\geq f_k\) 就分配一个 \(k\)，同时令 \(g\leftarrow g-f_k\)。
这样贪心一定能构造一组解。考虑反证。
假设 \(g\geq f_{k},g-f_k\geq f_{k-1}\)。那么就有 \(g\geq f_k+f_{k-1}=f_{k+1}\)，那么就不会分配 \(k-1,k\) 而是分配 \(k+1\)。
又因为 \(f_i\) 有无穷多个，因此这样一定可以分配完 \(g\)。
当然，在实际代码中，下标非负。因此需要一个偏移量。
同时，这题需要一个高精度。
AC 代码
复制了一个完整的高精度模板，因此有些长。
//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
struct BigIntTiny {
int sign;
std::vector<int> v;
BigIntTiny() : sign(1) {}
BigIntTiny(const std::string &s) { *this = s; }
BigIntTiny(int v) {
char buf[21];
sprintf(buf, "%d", v);
*this = buf;
}
void zip(int unzip) {
if (unzip == 0) {
for (int i = 0; i < (int)v.size(); i++)
v[i] = get_pos(i * 4) + get_pos(i * 4 + 1) * 10 + get_pos(i * 4 + 2) * 100 + get_pos(i * 4 + 3) * 1000;
} else
for (int i = (v.resize(v.size() * 4), (int)v.size() - 1), a; i >= 0; i--)
a = (i % 4 >= 2) ? v[i / 4] / 100 : v[i / 4] % 100, v[i] = (i & 1) ? a / 10 : a % 10;
setsign(1, 1);
}
int get_pos(unsigned pos) const { return pos >= v.size() ? 0 : v[pos]; }
BigIntTiny &setsign(int newsign, int rev) {
for (int i = (int)v.size() - 1; i > 0 && v[i] == 0; i--)
v.erase(v.begin() + i);
sign = (v.size() == 0 || (v.size() == 1 && v[0] == 0)) ? 1 : (rev ? newsign * sign : newsign);
return *this;
}
std::string to_str() const {
BigIntTiny b = *this;
std::string s;
for (int i = (b.zip(1), 0); i < (int)b.v.size(); ++i)
s += char(*(b.v.rbegin() + i) + '0');
return (sign < 0 ? "-" : "") + (s.empty() ? std::string("0") : s);
}
bool absless(const BigIntTiny &b) const {
if (v.size() != b.v.size()) return v.size() < b.v.size();
for (int i = (int)v.size() - 1; i >= 0; i--)
if (v[i] != b.v[i]) return v[i] < b.v[i];
return false;
}
BigIntTiny operator-() const {
BigIntTiny c = *this;
c.sign = (v.size() > 1 || v[0]) ? -c.sign : 1;
return c;
}
BigIntTiny &operator=(const std::string &s) {
if (s[0] == '-')
*this = s.substr(1);
else {
for (int i = (v.clear(), 0); i < (int)s.size(); ++i)
v.push_back(*(s.rbegin() + i) - '0');
zip(0);
}
return setsign(s[0] == '-' ? -1 : 1, sign = 1);
}
bool operator<(const BigIntTiny &b) const {
return sign != b.sign ? sign < b.sign : (sign == 1 ? absless(b) : b.absless(*this));
}
bool operator==(const BigIntTiny &b) const { return v == b.v && sign == b.sign; }
BigIntTiny &operator+=(const BigIntTiny &b) {
if (sign != b.sign) return *this = (*this) - -b;
v.resize(std::max(v.size(), b.v.size()) + 1);
for (int i = 0, carry = 0; i < (int)b.v.size() || carry; i++) {
carry += v[i] + b.get_pos(i);
v[i] = carry % 10000, carry /= 10000;
}
return setsign(sign, 0);
}
BigIntTiny operator+(const BigIntTiny &b) const {
BigIntTiny c = *this;
return c += b;
}
void add_mul(const BigIntTiny &b, int mul) {
v.resize(std::max(v.size(), b.v.size()) + 2);
for (int i = 0, carry = 0; i < (int)b.v.size() || carry; i++) {
carry += v[i] + b.get_pos(i) * mul;
v[i] = carry % 10000, carry /= 10000;
}
}
BigIntTiny operator-(const BigIntTiny &b) const {
if (b.v.empty() || b.v.size() == 1 && b.v[0] == 0) return *this;
if (sign != b.sign) return (*this) + -b;
if (absless(b)) return -(b - *this);
BigIntTiny c;
for (int i = 0, borrow = 0; i < (int)v.size(); i++) {
borrow += v[i] - b.get_pos(i);
c.v.push_back(borrow);
c.v.back() -= 10000 * (borrow >>= 31);
}
return c.setsign(sign, 0);
}
BigIntTiny operator*(const BigIntTiny &b) const {
if (b < *this) return b * *this;
BigIntTiny c, d = b;
for (int i = 0; i < (int)v.size(); i++, d.v.insert(d.v.begin(), 0))
c.add_mul(d, v[i]);
return c.setsign(sign * b.sign, 0);
}
BigIntTiny operator/(const BigIntTiny &b) const {
BigIntTiny c, d;
BigIntTiny e=b;
e.sign=1;
d.v.resize(v.size());
double db = 1.0 / (b.v.back() + (b.get_pos((unsigned)b.v.size() - 2) / 1e4) +
(b.get_pos((unsigned)b.v.size() - 3) + 1) / 1e8);
for (int i = (int)v.size() - 1; i >= 0; i--) {
c.v.insert(c.v.begin(), v[i]);
int m = (int)((c.get_pos((int)e.v.size()) * 10000 + c.get_pos((int)e.v.size() - 1)) * db);
c = c - e * m, c.setsign(c.sign, 0), d.v[i] += m;
while (!(c < e))
c = c - e, d.v[i] += 1;
}
return d.setsign(sign * b.sign, 0);
}
BigIntTiny operator%(const BigIntTiny &b) const { return *this - *this / b * b; }
bool operator>(const BigIntTiny &b) const { return b < *this; }
bool operator<=(const BigIntTiny &b) const { return !(b < *this); }
bool operator>=(const BigIntTiny &b) const { return !(*this < b); }
bool operator!=(const BigIntTiny &b) const { return !(*this == b); }
};
typedef long long ll;
constexpr const int N=10000,D=1000;
int n;
int a[N+1];
ll cnt[N+D+D+1];
int main(){
/*freopen("test.in","r",stdin);
freopen("test.out","w",stdout);*/
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
a[i]+=D;
int pl;
cin>>pl;
cnt[a[i]]+=pl;
}
sort(a+1,a+n+1);
n=unique(a+1,a+n+1)-a-1;
BigIntTiny f1=1,f2=1,g=0;
for(int i=0;i<=a[n];i++){
if(cnt[i]){
g+=f2*cnt[i];
}
BigIntTiny tmp=f2;
f2+=f1;
f1=tmp;
}
int p=a[n];
while(f2<g){
BigIntTiny tmp=f2;
f2+=f1;
f1=tmp;
p++;
}
vector<int>ans;
for(;p>0;p--){
if(g>=f2){
g=g-f2;
ans.push_back(p);
}
BigIntTiny tmp=f1;
f1=f2-f1;
f2=tmp;
}
sort(ans.begin(),ans.end());
for(int i:ans){
cout<<i-D+1<<' ';
}
cout<<'\n';
cout.flush();
/*fclose(stdin);
fclose(stdout);*/
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号