题解：[NOI2001] 陨石的秘密

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题意分析

先说一个坑：当 \(l_1=l_2=l_3=d=0\) 时不是绝对无解。

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我们考虑 \(\large f_{l_1,l_2,l_3,d}\) 表示所有含有 \(l_1\) 对 {}，\(l_2\) 对 []，\(l_3\) 对 () 的深度小于等于 \(d\) 的 SS 串的个数。

关于为什么是“小于等于”，我们考虑这样一件事。

对于 SS 串 \(S=AB\)，若 \(A\) 的深度 \(D(A)=d\)，那么 \(B\) 的深度 \(D(B)\) 只要满足 \(D(B)\leq d\)，都有 \(D(S)=d\)。又考虑到形如 \((A),[A],\{A\}\) 的构造方式构造出来的 SS 串都可以视为一个 SS 串拼接了一个空串。因此统计答案时，我们可以通过统计拼接构造的 SS 串的答案来统计所有答案（见下文）。那么对于 \(D(A)=d\)，\(D(B)\) 的真实取值并不重要，因此可以统计深度小于等于 \(d\) 的所有方案方便转移。

我们可以只考虑两个 SS 串相接的情况。因为如果考虑三个 SS 串 \(S=ABC\)，完全可以有 \(T=BC,S=AT\)。

那么我们可以枚举拼接到后面的 SS 串的大、中、小括号的个数 \(i,j,k\)。

当 SS 串形如 \(\{A\}B\) 时，则有：

\[\large f_{l_1,l_2,l_3,d}\leftarrow f_{l_1,l_2,l_3,d}+f_{l_1-i-1,l_2-j,l_3-k}f_{i,j,k,d-1} \]

同理，形如 \([A]B\) 时有：

\[\large f_{l_1,l_2,l_3,d}\leftarrow f_{l_1,l_2,l_3,d}+f_{0,l_2-j-1,l_3-k}f_{0,j,k,d-1} \]

形如 \((A)B\) 时有：

\[\large f_{l_1,l_2,l_3,d}\leftarrow f_{l_1,l_2,l_3,d}+f_{0,0,l_3-k-1}f_{0,0,k,d-1} \]

最终答案即 \(\large f_{l_1,l_2,l_3,d}-f_{l_1,l_2,l_3,d-1}\)。

边界情况

\[f_{0,0,0,d}=1 \]

这仅仅是因为上文递推式中会取到，因此取 \(1\) 不影响答案。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
constexpr const int L=10,D=30,mod=11380;
int l[4],dd;
int f[L+1][L+1][L+1][D+1];
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	scanf("%d %d %d %d",l+1,l+2,l+3,&dd);
	if(!l[1]&&!l[2]&&!l[3]&&dd){
		printf("0\n");
		return 0;
	}
	for(int d=0;d<=dd;d++){
		f[0][0][0][d]=1;
	}
	for(int l1=0;l1<=l[1];l1++){
		for(int l2=0;l2<=l[2];l2++){
			for(int l3=0;l3<=l[3];l3++){
				for(int d=1;d<=dd;d++){
					
					for(int i=0;i<l1;i++){
						for(int j=0;j<=l2;j++){
							for(int k=0;k<=l3;k++){	
								f[l1][l2][l3][d] = ( f[l1][l2][l3][d] + f[l1-i-1][l2-j][l3-k][d] * f[i][j][k][d-1] ) % mod;
							}
						}
					}
					
					for(int j=0;j<l2;j++){
						for(int k=0;k<=l3;k++){	
							f[l1][l2][l3][d] = ( f[l1][l2][l3][d] + f[l1][l2-j-1][l3-k][d] * f[0][j][k][d-1] ) % mod;
						}
					}
					
					for(int k=0;k<l3;k++){	
						f[l1][l2][l3][d] = ( f[l1][l2][l3][d] + f[l1][l2][l3-k-1][d] * f[0][0][k][d-1] ) % mod;
					}
				}
			}
		}
	}
	printf("%d\n",(f[l[1]][l[2]][l[3]][dd] - f[l[1]][l[2]][l[3]][dd-1] + mod ) % mod);
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}