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题意分析

给定 \(n\) 个点，每个点有权值 \(x_i\)。

对于整数 \(u,v\in[1,n]\)，若 \(u\oplus v\) 在二进制下有奇数个 \(1\)，在 \(u,v\) 间建边。

求最终边的数量。

\(\mathcal O(n^2)\) 暴力做法

首先这个图明显就是个障眼法。

定义 \(count(x)\) 表示 \(x\) 的二进制上 \(1\) 的个数，时间复杂度 \(\mathcal O(\log n)\)。

枚举 \(u,v\) 的复杂度：\(\mathcal O(n^2)\)。

总时间复杂度：\(\mathcal O(n^2\log n)\)。

期望得分：\(\text{60pts}\)。

参考代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath> 
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
const int N=1e7,V=1e9;
int n,x[N+1];
void scan(){
	int a,b,c,d;
	scanf("%d %d %d %d %d %d",&n,&a,&b,&c,&d,x);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		x[i]=(1ll*a*x[i-1]%d*x[i-1]%d+1ll*b*x[i-1]%d+c)%d;
	}
}
int count(int x){
	int cnt=0;
	while(x){
		cnt+=(x&1);
		x>>=1;
	}return cnt;
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	scan();
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			if(count(x[i]^x[j])&1)ans++;
		}
	}printf("%d\n",ans);
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}

\(\mathcal O(n\log n)\) 正解做法

考虑优化。

仍然定义 \(count(x)\) 表示 \(x\)

先说结论：当且仅当 \(count(x),count(y)\) 一奇一偶时，\(count(x \oplus y)\) 才为奇数。

证明

我们可以将 $x,y$ 都补全到 $31$ 位。

令 $count(x)$ 为奇数，$count(y)$ 为偶数（否则同理）。

那么，$x$ 上有奇数个 $1$，$y$ 上有 $31-count(y)$ 个 $1$，而 $31-count(y)$ 是奇数。

这些 $1$ 不重叠的个数为偶数。

同理，$0$ 不重叠的个数为奇数。

则最终不同的个数为 $0,1$ 分别不重叠个数相加为奇数，即 $count(x\oplus y)$ 为奇数。

那么我们先分别把 \(count(a_i)\) 为奇数的数量 \(odd\) 和为偶数的数量 \(even\) 都求出来，最终答案即 \(odd\times even\)。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath> 
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
const int N=1e7,V=1e9;
int n,x[N+1];
void scan(){
	int a,b,c,d;
	scanf("%d %d %d %d %d %d",&n,&a,&b,&c,&d,x);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		x[i]=(1ll*a*x[i-1]%d*x[i-1]%d+1ll*b*x[i-1]%d+c)%d;
	}
}
int count(int x){
	int cnt=0;
	while(x){
		cnt+=(x&1);
		x>>=1;
	}return cnt;
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	scan();
	int ans=0,odd=0,even=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(count(x[i])&1)odd++;
		else even++;
	}printf("%lld\n",1ll*odd*even);
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}