题解：[NOI2018] 屠龙勇士

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exexCRT

一条龙对应的剑可以通过平衡树等数据结构快速确定第 \(i\) 条龙单次收到攻击为 \(f_i\)。

\(x\) 次攻击后，龙的血量为 \(a_i-f_ix\)。

若干次回血后，血量为 \(0\)，即：

\[\begin{aligned} a_i-f_ix&\equiv0&\pmod{p_i}\\ f_ix&\equiv a_i&\pmod{p_i}\\ \end{aligned} \]

依然可以考虑 exCRT 的思路，合并同余方程组：

\[\begin{cases} f_1x\equiv a_1\pmod{p_1}\\ f_2x\equiv a_2\pmod{p_2}\\ \end{cases} \]

和 exCRT 一样转化为同余方程后求解也可以做，但是比较繁杂，有更为简单的方法。

设 \(x_1\) 为 \(f_1x\equiv a_1\pmod{p_1}\) 的一个解，则对于 \(\forall r\in\N\)，\(x_1+rp_1\) 均为其解。

则方程组的解均可以表述为 \(x+rp_1\)，有：

\[\begin{aligned} f_2(x+rp_1)&\equiv a_2\pmod{p_2}\\ f_2x+rp_1+sp_2&=a_2\\ rp_1+sp_2&=a_2-f_2x\\ \end{aligned} \]

exgcd 即可求出 \(r,s\)。

因此可以写出代码。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
#include<set> 
using namespace std;
const int maxn = 100005;
int T, n, m, b[maxn], t[maxn];
long long a[maxn], p[maxn], mx;
multiset<long long> s;
void exgcd(long long A, long long B, long long &x, long long &y, long long &gcd) {
	if(!B) x = 1, y = 0, gcd = A;
	else exgcd(B, A%B, y, x, gcd), y -= (A/B) * x;
}
long long ExCRT() {
	long long ans = 0, lcm = 1, x, y, gcd, A, B, C;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		A = (__int128)b[i] * lcm % p[i];
		B = p[i];
		C = (a[i]-b[i]*ans%p[i]+p[i]) % p[i];
		exgcd(A, B, x, y, gcd), x = (x%B+B) % B;
		if(C % gcd) return -1;
		ans += (__int128)(C/gcd) * x % (B/gcd) * lcm % (lcm*=B/gcd);
		ans %= lcm;
	}
	if(ans < mx) ans += ((mx-ans-1)/lcm+1) * lcm;
	return ans;
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	scanf("%d", &T);
	while(T--) {
		s.clear(), mx = 0;
		scanf("%d %d", &n, &m);
		for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld", &a[i]);
		for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld", &p[i]);
		for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &t[i]);
		for(int i = 1, x; i <= m; ++i) scanf("%d", &x), s.insert(x);
		for(int i = 1; i <= n; ++i) {
			auto u = s.upper_bound(a[i]);
			if(u != s.begin()) u--;
			b[i] = *u, s.erase(u), s.insert(t[i]);
			mx = max(mx, (a[i]-1)/b[i]+1);
		}
		printf("%lld\n", ExCRT());
	}
	
	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}