题解：[国家集训队] 最长双回文串

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如果你还不会Manacher：看这里

题意分析

首先，我们发现题目要求最长回文串，自然而然地想到 Manacher。

但是当我们求出最长回文半径 \(p_i\) 后，却发现不知道如何进一步做题了。

如果枚举两个回文串分别的回文中心，那么就是一个 \(\mathcal O\left(n^2\right)\) 的算法，考虑到 \(2\leq \vert S \vert \leq 10^5\)，不可取。

我们考虑记录以 \(i\) 为右端点的最长回文串长度 \(r_i\) 和以 \(i\) 为左端点的最长回文串长度 \(l_i\)，那么答案就是 \(\max(l_i+r_i)\)。（暂不考虑 Manacher 插入字符）

那么也就是 Manacher 中 \(p_i\) 暴力扩展完得到最终 \(p_i\) 后，更新 \(l_{i-p_i+1}\) 和 \(r_{i+p_i-1}\) 。

最后 \(\mathcal O\left(n\right)\) 递推 \(l_i=\max\left(l_i,l_{i-2}-2\right)\) 和 \(r_i=\max\left(r_i,r_{i+2}-2\right)\) 即可。

最长回文串更新

更新

在这一部分，“最长回文串”指的是那些无法继续扩展的回文串，而不是实际意义上的最长回文串。

例如对于 \(\texttt{abcbadddaddd}\)，\(\texttt{abcba}\) 是“最长回文串”，因为其无法继续向两边扩展。

当然，原来意义上的最长回文串仍是此意义下的“最长回文串”，因为其无法继续扩展（\(\texttt{dddaddd}\)）。

（以下不再使用引号以便于区分）

事实上，我们之前所得到的 \(l_{i-p_i+1}\) 和 \(r_{i+p_i-1}\) 都是作为最长回文串的，明显还有很多信息没有处理到。

那么为什么直接递推 \(l_i=\max\left(l_i,l_{i-2}-2\right)\) 和 \(r_i=\max\left(r_i,r_{i+2}-2\right)\) 就行呢？

需要明确的是，我们此时的 \(i\) 都是 Manacher 所插入的字符。

先看看 \(l_{i-p_i+1}\) 和 \(r_{i+p_i-1}\) 具体怎么赋值：

只需要 \(l_{i-p_i+1}=\max\left(l_{i-p_i+1},p_i-1\right)\) 即可。（\(r_{i+p_i-1}\) 同理）

因为，\(p_i\) 包括回文中心 \(i\)，两边分别共计 \(\frac{p_i-1}2\) 个有效字符，总共就是 \(p_i-1\)（可以自己尝试手推）。

那么此时有值（后面会提到！）的 \(l_i,r_i\) 就都是某个最长回文串的边界。

那么我们使用 \(l_{i-2}\) 获取到边界，再减去被我们去除的 \(2\) 个字符（回文，左右凉拌各一个）就得到了正确的 \(l_i\)。（\(r_i\) 同理）

错误

我当时调的时候，把 \(l_{i-p_i+1}\) 和 \(r_{i+p_i-1}\) 的更新放在了 Manacher while() 扩展 \(p_i\) 的循环内部，导致一直 \(\text{WA}\) 在 #5。其实这就涉及到问题了，这会导致之后 \(l_i\) 和 \(r_i\) 递推时不是最大，进而导致错误。

其实就是因为原本不应该有值的地方有了一个不正确的值。

AC代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm> 
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
const int N=1e6;
int top,p[2*N+1],l[2*N+1],r[2*N+1];
char s[2*N+1]={'~'};
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	char ch;
	while(cin>>ch){
		s[++top]='#';//top=1开始插入#,之后都遍历[1,top]
		s[++top]=ch;
	}s[++top]='#';
	for(int i=1,mid=0,R=0;i<=top;i++){
		if(i<R)p[i]=min(p[2*mid-i],R-i);
		while(s[i-p[i]]==s[i+p[i]])p[i]++;
		l[i-p[i]+1]=max(l[i-p[i]+1],p[i]-1);
		r[i+p[i]-1]=max(r[i+p[i]-1],p[i]-1);
		if(i+p[i]>R)R=i+p[i],mid=i;
	}//注意循环方向和数组越界:l必须从i=3开始,否则i-2会越界
	for(int i=top;i>=3;i-=2)r[i]=max(r[i],r[i+2]-2);
	for(int i=3;i<=top;i+=2)l[i]=max(l[i],l[i-2]-2);
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=top;i+=2){
		if(l[i]>0&&r[i]>0)ans=max(ans,l[i]+r[i]);
	}printf("%d\n",ans);
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}