题解：[BJOI2018] 链上二次求和

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题意分析

原来线段树可以维护单点加多项式。

原链即序列，设为 \(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\)。

记 \(\displaystyle s_n=\sum_{i=1}^na_i,t_n=\sum_{i=1}^ns_i\)。

那么容易发现，答案为：

\[\begin{aligned} \sum_{d=l}^r\sum_{i=1}^{n-d+1}\sum_{j=i}^{i+d-1}a_j&=\sum_{d=l}^r\sum_{i=1}^{n-d+1}(s_{i+d-1}-s_{i-1})\\ &=\sum_{d=l}^r\left(\sum_{i=d}^ns_i-\sum_{i=1}^{n-d}s_i\right)\\ &=\sum_{d=l}^r(t_n-t_{d-1}-t_{n-d})\\ &=(r-l+1)t_n-\sum_{i=l-1}^{r-1}t_i-\sum_{i=n-r}^{n-l}t_i \end{aligned} \]

考虑线段树维护 \(t_i\) 区间和。

那么在区间 \([l,r]\) 加上 \(d\) 时，可以发现：

\(i\)	\(l\)	\(l+1\)	\(l+2\)	\(\cdots\)	\(r\)	\(r+1\)	\(r+2\)	\(\cdots\)
\(\Delta a_i\)	\(+d\)	\(+d\)	\(+d\)	\(\cdots\)	\(+d\)	\(+d\)	\(+d\)	\(\cdots\)
\(\Delta s_i\)	\(+d\)	\(+2d\)	\(+3d\)	\(\cdots\)	\(+(r-l+1)d\)	\(+(r-l+1)d\)	\(+(r-l+1)d\)	\(\cdots\)
\(\Delta t_i\)	\(+d\)	\(+3d\)	\(+6d\)	\(\cdots\)	\(\small+\dfrac{(r-l+1)(r-l+2)}{2}d\)	\(\small+\dfrac{(r-l+1)(r-l+2)}{2}d+(r-l+1)d\)	\(\small+\dfrac{(r-l+1)(r-l+2)}{2}d+2(r-l+1)d\)	\(\cdots\)

• 若 \(l\leq i\leq r\)，则 \(s_i\) 加上了 \((i-l+1)d\)。

  那么：

  \[\begin{aligned} \Delta t_i&=\sum_{j=l}^i\Delta s_i\\\\ &=\sum_{j=l}^i(j-l+1)d\\ &=\dfrac{(i-l+1)(i-l+2)}{2}d\\ &=\dfrac12d\cdot i^2+\dfrac12d(-2l+3)\cdot i+\dfrac12d(l-1)(l-2) \end{aligned} \]

• 若 \(r<i\)，则 \(s_i\) 加上了 \((r-l+1)d\)。

  那么：

  \[\begin{aligned} \Delta t_i&=\sum_{j=l}^i\Delta s_i\\ &=\Delta t_r+\sum_{j=r+1}^i\Delta s_i\\ &=\dfrac{(r-l+1)(r-l+2)}2d+(i-r)(r-l+1)d\\ &=(r-l+1)d\cdot i+\dfrac{(r-l+1)(r-l+2)}2d-r(r-l+1)d \end{aligned} \]

线段树维护每个点加关于 \(i\) 的多项式即可，打三个懒标记 \(a,b,c\)，表示子区间 \([l,r]\) 还需要加上 \(\displaystyle\sum_{i=l}^r\left(ai^2+bi+c\right)\)。

同时需要计算区间平方和，可以预先计算前缀和后差分，也可以套公式 \(\displaystyle\sum_{i=1}^ni^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6\)。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
constexpr const int N=200000,P=1000000007,inv2=500000004,inv6=166666668;
int n,a[N+1],pre[N+1];
struct segTree{
	struct node{
		int l,r;
		int value,a,b,c;
		
		int quadratic(){
			return (pre[r]-pre[l-1])%P;
		}
		int linear(){
			return (l+r)*(r-l+1ll)%P*inv2%P;
		}
		int size(){
			return r-l+1;
		}
	}t[N<<2|1];
	
	void up(int p){
		t[p].value=(t[p<<1].value+t[p<<1|1].value)%P;
	}
	void build(int p,int l,int r){
		t[p]={l,r};
		if(l==r){
			t[p].value=a[l];
			return;
		}
		int mid=l+r>>1;
		build(p<<1,l,mid);
		build(p<<1|1,mid+1,r);
		up(p);
	}
	void down(int p){
		if(t[p].a){
			t[p<<1].value=(t[p<<1].value+1ll*t[p<<1].quadratic()*t[p].a)%P;
			t[p<<1].a=(t[p<<1].a+t[p].a)%P;
			t[p<<1|1].value=(t[p<<1|1].value+1ll*t[p<<1|1].quadratic()*t[p].a)%P;
			t[p<<1|1].a=(t[p<<1|1].a+t[p].a)%P;
			t[p].a=0;
		}
		if(t[p].b){
			t[p<<1].value=(t[p<<1].value+1ll*t[p<<1].linear()*t[p].b)%P;
			t[p<<1].b=(t[p<<1].b+t[p].b)%P;
			t[p<<1|1].value=(t[p<<1|1].value+1ll*t[p<<1|1].linear()*t[p].b)%P;
			t[p<<1|1].b=(t[p<<1|1].b+t[p].b)%P;
			t[p].b=0;
		}
		if(t[p].c){
			t[p<<1].value=(t[p<<1].value+1ll*t[p<<1].size()*t[p].c)%P;
			t[p<<1].c=(t[p<<1].c+t[p].c)%P;
			t[p<<1|1].value=(t[p<<1|1].value+1ll*t[p<<1|1].size()*t[p].c)%P;
			t[p<<1|1].c=(t[p<<1|1].c+t[p].c)%P;
			t[p].c=0;
		}
	}
	void add(int p,int l,int r,int a,int b,int c){
		if(l>r){
			return;
		}
		if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r){
			t[p].value=(t[p].value+1ll*t[p].quadratic()*a)%P;
			t[p].a=(t[p].a+a)%P;
			t[p].value=(t[p].value+1ll*t[p].linear()*b)%P;
			t[p].b=(t[p].b+b)%P;
			t[p].value=(t[p].value+1ll*t[p].size()*c)%P;
			t[p].c=(t[p].c+c)%P;
			return;
		}
		down(p);
		if(l<=t[p<<1].r){
			add(p<<1,l,r,a,b,c);
		}
		if(t[p<<1|1].l<=r){
			add(p<<1|1,l,r,a,b,c);
		}
		up(p);
	}
	int query(int p,int l,int r){
		if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r){
			return t[p].value;
		}
		down(p);
		int ans=0;
		if(l<=t[p<<1].r){
			ans=query(p<<1,l,r);
		}
		if(t[p<<1|1].l<=r){
			ans=(ans+query(p<<1|1,l,r))%P;
		}
		return ans;
	}
}t;
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	int m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		pre[i]=(pre[i-1]+1ll*i*i)%P;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=(a[i-1]+a[i])%P;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=(a[i-1]+a[i])%P;
	}
	t.build(1,1,n);
	while(m--){
		int op,l,r,d,pl,pl2;
		cin>>op>>l>>r;
		if(l>r){
			swap(l,r);
		}
		switch(op){
			case 1:
				int d;
				cin>>d;
				pl=1ll*d*inv2%P;
				t.add(1,l,r,pl,pl*(-2ll*l+3)%P,pl*(l-1ll)%P*(l-2)%P);
				pl2=(r-l+1ll)*d%P;
				t.add(1,r+1,n,0,pl2,(-1ll*r*pl2%P+(r-l+1ll)*(r-l+2)%P*pl%P)%P);
				break;
			case 2:
				int ans=(((r-l+1ll)*t.query(1,n,n)%P-t.query(1,l-1,r-1))%P-t.query(1,n-r,n-l))%P;
				if(ans<0){
					ans+=P;
				}
				cout<<ans<<'\n';
				break; 
		}
	}
	
	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}