题解：绝世好题

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回顾：最长子序列问题

先让我们回想一下最长上升子序列是如何解决的。

定义 \(dp[i]\) 表示以 \(a[i]\) 结尾的最长子序列的长度。

那么 \(dp[i]\) 就是在 \([1,i-1]\) 中找到一个满足 \(a[j]<a[i]\) 且 \(dp[j]\) 最大的 \(j\)，则 \(dp[i]=dp[j]+1\)。

这是 \(\mathcal O(n^2)\) 的做法。

---

对于 \(\mathcal O(n\log n)\) 做法，则是令 \(dp[i]\) 表示长度为 \(i\) 的子序列的最后一位，然后每次加入的时候就在 \(dp\) 上二分加入，最后查询 \(i\) 的最大值即可。

最长上升子序列的推广

现在来思考本题。

\(\mathcal O(n^2)\) 做法

仍然定义 \(dp[i]\) 表示以 \(a[i]\) 结尾的满足条件的最长子序列的长度。

一个 \(\mathcal O(n^2)\) 的做法是，\(i\) 枚举 \([1,n]\)，\(j\) 枚举 \([1,i-1]\)，若 \(a[i]\ \&\ a[j]>0\)，则有：

\[dp[i]\leftarrow \max(dp[i],dp[j]) \]

此时再有 \(dp[i]\leftarrow dp[i]+1\)，最终答案即 \(\max\limits_{i=1}^ndp[i]\)。

参考代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath> 
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
const int N=100000;
int n,a[N+1],dp[N+1];
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",a+i);
	}
	int Max=0; 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<i;j++){
			if(a[i]&a[j]){
				dp[i]=max(dp[i],dp[j]);
			}
		}dp[i]++;
		Max=max(Max,dp[i]);
	}printf("%d\n",Max);
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}

期望得分：\(30\text{pts}\)。

实际得分：\(90\text{pts}\)。

数据严重过水。

\(\mathcal O(n\log n)\) 做法

我们可以尝试优化我们的做法。

回顾最长上升子序列问题，发现之所以能够优化，是因为二分的存在。

然而本题显然无法二分，考虑其他做法。

分析题目条件，序列元素之间只要有一个二进制位都是 \(1\)，就可以分到一组。

令 \(dp[i]\) 表示末尾元素二进制位上权值为 \(2^i\) 的位为 \(1\) 的子序列的最长长度。

那么就看所有被 \(a[i]\) 包含的 \(2^j\) 的 \(dp[j]\)，取最大值后加 \(1\) 可以得到以 \(a[i]\) 结尾的最长子序列长度 \(s\)。此时我们又可以使用 \(s\) 将这些 \(dp[j]\) 全部更新。

最终答案即 \(\max\limits_{i=1}^{\log V}dp[i]\)。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath> 
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
int n,x,dp[30];
int main(){
//	freopen("test.in","r",stdin);
//	freopen("test.out","w",stdout);
	
	scanf("%d",&n);
	int ans=0; 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&x); 
		int Max=0;
		for(int j=0;j<30;j++){
			if(x&(1<<j))Max=max(dp[j],Max);
		}Max++;
		for(int j=0;j<30;j++){
			if(x&(1<<j))dp[j]=max(dp[j],Max);
			ans=max(ans,dp[j]);
		}
	}printf("%d\n",ans);
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}