题解：[AHOI2013] 差异

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题意分析

大力推式子：

\[\begin{aligned} \sum_{1\leq i<j\leq n}\vert T_i\vert+\vert T_j\vert-2\vert\operatorname{lcp}(T_i,T_j)\vert&=\sum_{1\leq i<j\leq n}(n-i+1)+(n-j+1)-2\vert\operatorname{lcp}(T_i,T_j)\vert\\ &=\dfrac{n(n-1)(n+1)}{2}-2\sum_{1\leq i<j\leq n}\vert\operatorname{lcp}(T_i,T_j)\vert \end{aligned} \]

考虑利用 SA 维护 \(\operatorname{lcp}\) 信息，有：

\[\begin{aligned} \sum_{1\leq i<j\leq n}\vert\operatorname{lcp}(T_i,T_j)\vert&=\sum_{1\leq i<j\leq n}\min_{k=i+1}^j\textit{height}_k\\ &=\sum_{2\leq i\leq j\leq n}\min_{k=i}^j\textit{height}_k \end{aligned} \]

即求 \(\textit{height}\) 在 \([2,n]\) 内的所有区间的最小值之和。

枚举 \(\textit{height}_i\) 作为区间最小值，预处理 \(l_i,r_i\) 作为其能覆盖的区间左右端点，则区间数为 \((i-l_i+1)(r_i-i+1)\)。

计算答案即可。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr const int N=500000,V=127,inf=0x3f3f3f3f;
int n,a[N+1],sa[N+1],rk[N<<1|1],height[N+1],l[N+1],r[N+1];
char s[N+1];
void buildSA(){
	static int sa0[N+1],rk0[N+1],cnt[N+1];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cnt[rk[i]=s[i]]++;
	}
	for(int i=1;i<=V;i++){
		cnt[i]+=cnt[i-1];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sa[cnt[rk[i]]--]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		rk0[i]=rk[i];
	}
	for(int p=0,i=1;i<=n;i++){
		if(rk0[sa[i]]==rk0[sa[i-1]]){
			rk[sa[i]]=p;
		}else{
			rk[sa[i]]=++p;
		}
	}
	for(int w=1;w<n;w<<=1){
		memset(cnt,0,sizeof(cnt));
		for(int i=1;i<=n;i++){
			sa0[i]=sa[i];
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cnt[rk[sa0[i]+w]]++;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cnt[i]+=cnt[i-1];
		}
		for(int i=n;1<=i;i--){
			sa[cnt[rk[sa0[i]+w]]--]=sa0[i];
		}
		memset(cnt,0,sizeof(cnt));
		for(int i=1;i<=n;i++){
			sa0[i]=sa[i];
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cnt[rk[sa0[i]]]++;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cnt[i]+=cnt[i-1];
		}
		for(int i=n;1<=i;i--){
			sa[cnt[rk[sa0[i]]]--]=sa0[i];
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			rk0[i]=rk[i];
		}
		for(int p=0,i=1;i<=n;i++){
			if(rk0[sa[i]]==rk0[sa[i-1]]&&rk0[sa[i]+w]==rk0[sa[i-1]+w]){
				rk[sa[i]]=p;
			}else{
				rk[sa[i]]=++p;
			}
		}
	}
}
void buildHeight(){
	for(int i=1,k=0;i<=n;i++){
		k=max(k-1,0);
		while(s[i+k]==s[sa[rk[i]-1]+k]){
			k++;
		}
		height[rk[i]]=k;
	}
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	cin>>(s+1);
	n=strlen(s+1);
	buildSA();
	buildHeight();
	ll ans=n*(n-1ll)*(n+1)/2;
	vector<int>p;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(p.size()&&height[p.back()]>=height[i]){
			p.pop_back();
		}
		if(p.size()){
			l[i]=p.back()+1;
		}else{
			l[i]=1;
		}
		p.push_back(i);
	}
	p.resize(0);
	for(int i=n;1<=i;i--){
		while(p.size()&&height[p.back()]>height[i]){
			p.pop_back();
		}
		if(p.size()){
			r[i]=p.back()-1;
		}else{
			r[i]=n;
		}
		p.push_back(i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans-=2ll*height[i]*(i-l[i]+1)*(r[i]-i+1);
	}
	cout<<ans<<'\n';
	
	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}