题解：[NOIP 2016 提高组] 愤怒的小鸟

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题意分析

注意到 \(n\leq18\)，因此可以考虑状压 DP。

设 \(\textit{dp}_s\) 表示射死的猪的集合为 \(s\) 时的方案数。（\(s\) 放到状压的代码里面就是一个整数，二进制的第 \(i\) 位表示猪 \(i\) 是否被射死。）

那么考虑抛物线如何射死猪。

对于一条抛物线，如果射死一只猪，则有无穷多条；如果射死两只猪，则可以确定（因为抛物线形如 \(y=ax^2+bx\)，必须过点 \((0,0)\)）。

那么记 \(\textit{line}_{i,j}\) 表示射死第 \(i,j\) 只猪的合法的抛物线射死的猪的状态（猪从 \(0\) 至 \(n-1\) 编号）。

记 \((x_i,y_i),(x_j,y_j)\) 分别为猪 \(i,j\) 的坐标。

设 \(\textit{line}_{i,j}\) 对应抛物线为 \(y=ax^2+bx\)，则待定系数法解方程可以确定：

\[\begin{cases} a=\dfrac{x_j\cdot y_i-x_i\cdot y_j}{x_i\cdot x_j(x_i-x_j)}\\ b=\dfrac{y_i}{x_i}-a\cdot x_i \end{cases} \]

那么就可以确定哪些猪会被 \(\textit{line}_{i,j}\) 对应抛物线射死。

需要注意的是：

• 计算 \(\textit{line}_{i,j}\) 时需要特判 \(i=j\) 时：此时其状态 \(s\) 只包含 \(i\)，即只射死猪 \(i\)。
• 算出来的二次函数 \(y=ax^2+bx\) 需要满足 \(a<0\)，否则不是合法抛物线。

还需要注意的是，double 具有误差，因此当两个 double 只差的绝对值小于一定常数的时候，就应当判断其相等；这个常数一般称作 eps，此处取 \(10^{-6}\)。

对于 DP 的转移，由 \(s\) 找到哪些抛物线是新增的显然不太好找，因此可以从已知状态 \(s\) 开始向其他状态递推。

即：

\[\textit{dp}_{s\cup\textit{line}_{i,j}}\leftarrow\min(\textit{dp}_{s\cup\textit{line}_{i,j}},\textit{dp}_s+1) \]

其中，\(\leftarrow\) 表示赋值。当然也有代码版的递推方程：

dp[s|line[i][j]]=min(dp[s|line[i][j]],dp[s]+1);

AC 代码

时间复杂度：\(\mathcal O\left(Tn^2\log n\right)\)。

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
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#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
constexpr const int N=18;
constexpr const double eps=1e-6;
int n,dp[1<<N|1],line[N+1][N+1];
struct node{
	double x,y;
}a[N+1];
struct func{
	double a,b;
};
func calc(node a,node b){
	double& x1=a.x,x2=b.x,y1=a.y,y2=b.y; 
	func ans;
	ans.a=(x2*y1-x1*y2)/(x1*x2*(x1-x2));
	ans.b=y1/x1-ans.a*x1;
	return ans;
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	int T;
	cin>>T;
	while(T--){
		int m;
		cin>>n>>m;
		for(int i=0;i<n;i++){
			cin>>a[i].x>>a[i].y;
		}
		memset(line,0,sizeof(line));
		for(int i=0;i<n;i++){
			line[i][i]|=(1<<i);
			for(int j=0;j<n;j++){
				if(i==j){
					continue;
				} 
				auto pl=calc(a[i],a[j]);
				if(pl.a>=0){
					continue;
				}
				for(int k=0;k<n;k++){
					if(abs(a[k].y-(pl.a*a[k].x*a[k].x+pl.b*a[k].x))<=eps){
						line[i][j]|=(1<<k);
					}
				}
			}
		}
		memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
		dp[0]=0;
		for(int i=0;i<(1<<n);i++){
			for(int j=0;j<n;j++){
				for(int k=0;k<n;k++){
					dp[i|line[j][k]]=min(dp[i|line[j][k]],dp[i]+1);
				}
			}
		}
		cout<<dp[(1<<n)-1]<<'\n';
	}
	
	cout.flush();
	 
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}