题解：[HAOI2011] Problem b

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题意分析

首先写出答案：

\[\textit{ans}=\sum_{i=a}^b\sum_{j=c}^d[\gcd(i,j)=k] \]

这种涉及到 \(\gcd\) 的题目，一般都考虑莫比乌斯反演。

不妨令 \(b<d\)，有：

\[\begin{aligned} \textit{ans}&=\sum_{i=\lceil\frac ak\rceil}^{\lfloor\frac bk\rfloor}\sum_{i=\lceil\frac ck\rceil}^{\lfloor\frac dk\rfloor}[i\perp j]\\ &=\sum_{i=\lceil\frac ak\rceil}^{\lfloor\frac bk\rfloor}\sum_{i=\lceil\frac ck\rceil}^{\lfloor\frac dk\rfloor}\sum_{t\mid\gcd(i,j)}\mu(t)\\ &=\sum_{t=1}^{\lfloor\frac bk\rfloor}\mu(t)\left(\left\lfloor\frac b{kt}\right\rfloor-\left\lceil\frac a{kt}\right\rceil+1\right)\left(\left\lfloor\frac d{kt}\right\rfloor-\left\lceil\frac c{kt}\right\rceil+1\right) \end{aligned} \]

使用线性筛预处理 \(\mu(t)\) 前缀和，数论分块计算即可。

AC 代码

时间复杂度：\(\mathcal O\left(n\dfrac bk\sqrt{\dfrac bk}\right)\)。

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm> 
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr const int V=5e4;
int preMu[V+1];
void pre(){
	preMu[1]=1;
	static bool vis[V+1];
	static int size,prime[V+1];
	for(int i=2;i<=V;i++){
		if(!vis[i]){
			preMu[i]=-1;
			prime[++size]=i;
			vis[i]=i;
		}
		for(int j=1;j<=size&&i*prime[j]<=V;j++){
			vis[i*prime[j]]=prime[j];
			if(i%prime[j]==0){
				break;
			}
			preMu[i*prime[j]]=-preMu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=V;i++){
		preMu[i]+=preMu[i-1];
	}
}
ll query(int a,int b,int c,int d,int k){
	ll ans=0;
	if(b>d){
		swap(a,c);swap(b,d);
	}
	for(int l=1,r=0;l<=b;l=r+1){
		int tb=b/l,td=d/l;
		int ta=(a-1)/l,tc=(c-1)/l;
		r=min(b/tb,d/td);
		if(ta){
			r=min(r,(a-1)/ta); 
		}
		if(tc){
			r=min(r,(c-1)/tc);
		}
		ans+=(tb/k - ceil(1.0*a/(k*l)) +1ll)*(td/k - ceil(1.0*c/(k*l)) +1ll)*(preMu[r]-preMu[l-1]);
	} 
//	for(int t=1;t<=b;t++){
//		ans+=mu[t]*(b/k/t-ceil(1.0*a/k/t)+1ll)*(d/k/t-ceil(1.0*c/k/t)+1ll);
//	}
	return ans;
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	pre();
	int T;
	cin>>T;
	while(T--){
		int a,b,c,d,k;
		cin>>a>>b>>c>>d>>k;
		cout<<query(a,b,c,d,k)<<'\n';
	}
	
	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}