题解：[NOI2002] 荒岛野人

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题意分析

观察数据范围，\(1\leq n\leq15,1\leq m\leq10^6\)，数据范围不大，因此可以考虑枚举 \(m\)。

两个野人 \(i,j\) 在第 \(x\) 年相遇即：

\[c_i+x\cdot p_i\equiv c_j+x\cdot p_j\pmod m \]

同时，\(x\) 需要满足 \(x\leq\min(l_i,l_j)\)。

若没有野人相遇，则 \(n^2\) 个同余方程均没有满足条件的解，使用 exgcd 判断即可。

注意判断 \(x\leq\min(l_i,l_j)\) 时，应当取 \(x\) 的最小正整数解 \(x_{\min}\) 来判断，因为相遇多次只要有一次就不应出现。

可以在 \(\left[\max\limits_{i=1}^n c_i,10^6\right]\) 中枚举 \(m\)。

AC 代码

时间复杂度：\(\mathcal O(mn^2\log c)\)。

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
constexpr const int N=15;
int n,c[N+1],p[N+1],l[N+1];
int gcd(int a,int b){
	while(b){
		int tmp=a;
		a=b;
		b=tmp%b;
	}
	return a;
}
void exgcd(int a,int &x,int b,int &y){
	if(!b){
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	int tmp;
	exgcd(b,tmp,a%b,x);
	y=tmp-a/b*x;
}
bool check(int m){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			int A=p[i]-p[j],x0,B=m,y0,C=c[j]-c[i];
			int pl=gcd(A,B);
			if(C%pl){
				continue;
			}
			exgcd(A,x0,B,y0);
			int w=C/pl;
			x0*=w,y0*=w;
			int xMin,yMax,deltaB=abs(B/pl);
			xMin=x0%deltaB;
			if(xMin<0){
				xMin+=deltaB;
			}
			if(xMin<=min(l[i],l[j])){
				return false;
			} 
		}
	}
	return true;
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	cin>>n;
	int maxC=1; 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>c[i]>>p[i]>>l[i];
		maxC=max(maxC,c[i]);
	}
	for(int m=maxC;;m++){
		if(check(m)){
			cout<<m<<'\n';
			break;
		}
	}
	
	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}