洛谷P2357

这仅仅是过去写的一个记录，更详细请见树状数组详解，本题是作为例题讲解的。

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与普通树状数组不同的是，这次既需要单点修改、区间查询，又需要区间修改、单点查询。

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对于数组 \(a\) 的差分数组 \(d\)，我们可以使用 \(d\) 求出 \(a\) 的前缀和数组 \(s\)。

由于 \(d_k=a_k-a_{k-1}\)，则：

\[a_k=d_1+d_2+d_3+\cdots+d_k \]

那么：

\[\begin{aligned}s_k&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k\\\\&=d_1+(d_1+d_2)+(d_1+d_2+d_3)+\cdots+(d_1+d_2+d_3+\cdots+d_k)\\\\&=k\times d_1+(k-1)\times d_2+(k-2)\times d_3+(k-3)\times d_4+\cdots+d_k\\\\&=(k+1)(d_1+d_2+d_3+\cdots+d_k)-(1\times d_1+2\times d_2+3\times d_3+\cdots+k\times d_k)\\\\&=(k+1)\sum_{i=1}^k d_i-\sum_{i=1}^k d_i\times i\end{aligned} \]

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维护树状数组 \(d_i=a_i-a_{i-1}\) 和树状数组数组 \(c_i=d_i\times i\) 即可。

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关于各个操作：

1. 差分处理

2. 由1同理

3. 由1同理

4. 计算前缀和

5. 由4同理